谭升
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【数理统计学简史】1.6 关于概率的几点看法

关于概率的几点看法

今天我们继续介绍《推测术》中对我们如今仍有影响的观点,伯努利把概率分为“主观概率”和“客观概率”,其余的有些观点也来自前人,但值得注意的有下面几条:
– 客观概率分为两类:
1. 先验概率(在试验之前就知道了,与贝叶斯公式中的先验概率不同,贝叶斯公式我们会在后面给出),可以先验地计算的概率,从现在角度来看就是古典概率,计算建立在对称性(早就知道的事实,不需要证明)基础上的等可能性。
2. 后验概率,这种是统计概率的一种表示,比如,某地区,“出生男孩”这个事件的概率,通过大量观察来后验地计算。
– 伯努利采取一种机械决定论的观点,也就是说,世界上的一切事物都受到严格的因果律支配。他分析掷骰子这个例子,认为,若把一切所有相关的条件全部研究清楚,并且控制得当,投掷结果就不再是随机的,比如,我们控制了骰子的大小,质量分布,投掷力度,投掷方向,地球引力,甚至月亮的引力,等等。当一切都相同的话,结果不随机了,而是确定的,大科学家拉普拉斯也采取同样的观点,对掷骰子的随机结果是因为:对于某些影响投掷的结果的条件,我们还没有发现,所以不可预测,也就是随机现象的出现。
– 伯努利引进了所谓的“道德确定性”的概念(moral certainty),如果对于一个事件,我们不能确定其发生,但是它被认为有极大的可能性以至于几乎完全有可能发生,就称它有到的确定性。用简单的话来说,当事件发生的概率接近于1的时候,我们就说其是到的确定性的,但是问题是,如何才能判断是否接近 1,比如,我们可以说0.9接近1,但是我们当以0.99作为接近1与否的标准( $p(x)\geq 0.99$ 时算接近1),那么0.90不算接近1。与此同时,当事件的概率接近于0的时候,这个事件被称为“道德否定”的,这个概念对后世的数理统计有非常重大的影响,在统计推断的时候,我们一般无法保证推断结果100%没有出错的时候,于是,我们提出一个很小的数 $a > 0$ 使得出错的概率不大于 $a$ ,这就是说,错误的结果是“道德否定”发生的,推断可信,否则这个推断的错误不是“道德否定”的,推断结果不能接受。现在我们把“道德确定性”叫做“事实上的确定性”(practical certainty),把 “概率很小的事件,在一次试验中极不可能发生”的看法叫做“小概率事件原理”,这个原理每天都在使用,比如我们可以不用担心飞机回失事,或者你的股票能一年涨十倍这种,都是不需要抱太大希望的。
– 伯努利主张把古典概率“等可能性”的思想扩展到主观概率的场合,他认为,主观来推测一个试验两个结果的可能性的时候,如果我们不知道任何咸盐的情况下,我们应该给他们是等可能的主观概率。比如两个人比赛下棋,我们不知道他们之间的水平高低,所以给出每人 $\frac{1}{2}$ 的获胜概率。或则在其他实验中,一个数字 $a$ 可能出自 $[b,c]$ 之间的任意一个数,我们不知道有什么分布和什么特点的时候,我们认为 $a$ 是 $[b,c]$ 间的均匀分布。
最后一点后世科学家把它称作 “同等无知原则”,在数理统计史上有极其重要的意义,英国学者贝叶斯在1763年发表的论文就基于这个思想,同时这篇论文建立了贝叶斯学派。不确定贝叶斯是否受到《推测术》。大数学家拉普拉斯也有提出——“不充分理由原则”,思想与此相同。

总结

本文用伯努利的几个基本观点,来介绍数理统计学的重要基础,看似平常的原理值得我们注意。

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