谭升
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【数理统计学简史】2.3 狄莫弗初步结果的改进,与斯特林的联系

数理统计学简史 狄莫弗初步结果的改进,与斯特林的联系

初步结果的改进,与斯特林的联系

上文我们说的(5),(6)两个结果结局了喀明的问题,但是还不能给 $P_d$ 找了一个近似的公式,而找到这个近似公式,是狄莫弗对后世发挥重要贡献的的工作。
这方面的进一步推动来于斯特林,他在数学上以其关于阶乘的渐近公式而知名,
1725年,喀明把狄莫弗的结果告知了斯特林,这激发了斯特林的兴趣,然后他使用级数做出了两个关于 $b(m)$ 的表达式:
$$
b^2(m)=\frac{2}{\pi(2m+1)}[1+\frac{1}{4(m+\frac{3}{2})}+\frac{1}{32(m+\frac{3}{2})(m+\frac{5}{2})}+\dots]\tag{7}
$$
以及
$$
b^{-2}(m)=\pi m[1+\frac{1}{4m+1}+\frac{9}{32(m+1)(m+2)}+\dots]\tag{8}
$$

证明特别复杂,这里不描述,值得注意的是,这是 $\pi$ 第一次引入此类公式,这也显示,二项分布的正态逼近这一重要论题中,斯特林功不可没,但是现在教科书上基本只写狄莫弗,所以我们有必要知道这些事实,所以教科书的客观与否,影响的是一代人。
注意 $m=\frac{N}{2}$ 令 $N\to \infty$ 在 (8) 式左边只取主项1,就能得到下面的重要结论:
$$
b(m)\sim \sqrt{\frac{2}{\pi N}}\tag{9}
$$
这个结果意义重大,因为这个式子跟前文提到的(5)有相似之处,而(5) 式中 $\sim$ 只表示两边接近的意思,对 $N\to \infty$ 时两边比值趋近于1的结论没有任何证明作用。而(9)则能指出这个结论,如果狄莫弗只停留在(5)上,这个结果如果再继续和后面的过程联系在一起很有可能最后会得到错误的答案,而错失追求真相的机会。但是从另一个方面,(9)在极限条件下是正解,但是在 $N$ 较小的情况下(5)式反而更准一些,比如当 $N=6$ 的时候。
下面做一个数值上的对比

m (5)的结果 (9)的结果 准确结果
$m=3$ $0.3256035$ $0.3257350$ $0.3125000$
$m=12$ $0.2302365$ $0.2303294$ $0.2255859$

值得庆幸的是狄莫弗和斯特林有联系,而且斯特林把结果告知了狄莫弗,很快狄莫弗发现(9)可以通过瓦里斯在1655年得到的下述无穷乘积结果:
$$
\text{lim}_{N\to \infty} \sqrt{\frac{1}{2N+1}}\frac{2\cdot 4\cdot6\dots 2N}{1\cdot 3\cdot 5\dots(2N-1)}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\tag{10}
$$
从得出(9)的时间来看,认为狄莫弗注意到瓦里斯公式的关系是出于斯特林的结果提示的。如果狄莫弗能更早的发现和瓦里斯公式的关系,则他可以更早的提出公式(9),进而更早的完成整项工作,也能避免进入到 (5)的死胡同。
斯特林公式最早发表于 1730年 斯特林当年做出了一个关键结果,阶乘公式是这个结果的一个推论。
1730年狄莫弗证明了一个比斯特林原始阶乘公式更简洁的形式,斯特林原始结果比这个复杂许多:
$$
m!=\sqrt{2\pi}m^{m+\frac{1}{2}}e^{-m+\frac{1}{12m}-\frac{1}{360m^3}+\dots}\tag{11}
$$
省略掉了随 $m\to \infty$ 趋近于0的部分,得到教科书上常见的形式:
$$
m!\sim\sqrt{2\pi}m^{m+\frac{1}{2}}e^{-m}
$$

总结

斯特林公式在我们学习概率论基础的时候是选学部分,现在看来证明确实有些复杂,但是作为二项分布近似计算的一部分,可以说简化了很多操作。
总结文章主旨:要多读论文,尤其是别人的结果,没准就能帮助你!

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