谭升
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【数理统计学简史】1.4 惠更斯的“机遇与规律”

“机遇与规律”

惠更斯有多方面成就,其当时的名声与牛顿相当,比较熟悉的一个研究成果是单摆周期公式 $T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ ,他对概率早期的发展也有重要贡献,其中最主要的是 《机遇与规律》 一书,出版于1657年 ,出版后得到学术界的重视,在欧洲作为概率论的标准教材长达50年。
本书更像一篇论文,从一条公理出发——“公平赌博的值”,推出关于期望的三条定理,这也是期望的首次引进。
本书中解决了当时感兴趣的一些机遇博弈的问题,最后提出五个问题,三个给出了结论但是未加证明。
除了上面说他提出的五个问题,本书中有3条定理,11个问题,常被称为惠更斯的14个命题,前三条如下:
1. 某人在赌博中以等概率 $\frac{1}{2}$ 得到 $a$ 元和 $b$ 元,那么期望是 $\frac{a+b}{2}$ 元
2. 某人在赌博中以等概率 $\frac{1}{3}$ 得到 $a,b,c$ 元,那么期望是 $\frac{a+b+c}{3}$ 元
3. 若某人在赌博中以概率 $p,q(p+q=1)$ 得到 $a,b$ 元 ,则期望是 $pa+qb$ 元

这些命题如今看来完全就是定义,但是当时由于思想问题,大家认为从尽可能少的公理出发,把其他内容推演出来。惠更斯就是通过一条公理,推理出了这些命题,推理过程也很别致,有兴趣可以去查查原文。

上述3个命题就是期望的一般化,根据惠更斯给出的命题,进一步一般化就很容易得出现代概率论的期望公式 $E[a]=\sum_{i=0}^{n}a_ip_i$

但是惠更斯的局限性在于都是研究各种赌博问题,没有将赌博问题抽象化到纯数学问题,而惠更斯用了现代概率论中一些常见的方法,得出计算结果,与帕斯卡的做法基本相似,后来伯努利把这些称为“惠更斯的分析方法”。
机遇博弈在概率概念的产生和运算规则的建立中,起了非常大的作用,机遇处处存在,但是把这种东西精确到数字上还是很有难度的。随概率论这门科学建立后,即脱离了赌博,进入了更多的应用。
这也是一个有趣的现象,从一个没什么意义的活动中,形成了一个非常有价值的副产物。
1713年伯努利划时代著作《推测术》出版,在惠更斯的《机遇与规律》出版后的56年,伯努利不仅脱离了赌博,还提出了著名的——“大数定理” ,一个一直影响至今的结论。许多统计方法和理论都建立在大数定理上。
有概率史学家认为,《推测术》是概率论概念形成过程的终结,宣告数学概率论的开端。
假设一个事件A,根据某种理论,当然这个理论是啥我们可以先不考虑,我们只假设,根据这个理论,我们能得出这个事件的概率为 $P(A)=p$ 这个理论正确与否就是我们我们不知道,继续进行研究的方法有两种:
1. 通过大量的试验,观察我们的理论,“ $P(A)=p$ ” 在实验中是否接近实际结果。
2. 在不知道到 $P(A)$ 的时候根本不提出什么理论,而是直接根据实验去估计这个概率。

上面就是数理统计的两个最基本问题——检验与估计。
对于上面这个例子的最简单的实验,就是从一个盒子里面拿球(放回的随机拿),不同颜色的球,每个球等概率被拿出,然后统计实验结果,然后比对和古典概率给出的结论,进行检验,或者,统计结果,直接用结果作为拿出不同球的概率。但是估计会有误差,这个误差的直观感受是随着试验次数的增加而不断变小,这一点,伯努利认为“再笨的大傻瓜都能看出来”,然后我们就莫名的被嘲讽了,但是这个结论一直没有给出严格的证明。
然后伯努利决定自己搞定这些问题,然后就导致了以他的名字命名的大数定理,这个发现对概率论和数理统计的发展有极其重大的意义,他把这部分内容写在了《推测术》的第四部分,作为该著作的精华部分。后面我们主要介绍这本书。

总结

我们终于从赌博中走出来了,再不出来,google虫子真的会屏蔽我的网页了。

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