Abstract: 本文是关于Bayes’ Theorem 的介绍性知识
Keywords: Bayes’ Theorem，Law of total Probability

# 贝叶斯定理

## 贝叶斯定理 Bayes’ Theorem

1. 频率学派的观点主要是认为所有事件的概率都不确定，但是可以用频率来近似得到。
2. 贝叶斯派则认为所有事件的概率都是确定的，只是你的先验知识不足，所以算不出来而已。

$$Pr(A\cap B)=Pr(A|B)Pr(B)=Pr(B|A)Pr(A)\\ Pr(A|B)=\frac{Pr(B|A)Pr(A)}{Pr(B)} \quad where \quad Pr(B)\neq 0\\ or\\ Pr(B|A)=\frac{Pr(A|B)Pr(B)}{Pr(A)} \quad where \quad Pr(A)\neq 0$$

$$Pr(L|A)=\frac{6}{10}\\ Pr(S|A)=\frac{4}{10}\\ Pr(L|B)=\frac{3}{10}\\ Pr(S|B)=\frac{7}{10}\\ Pr(L)=Pr(L|A)Pr(A)+Pr(L|B)Pr(B)=\frac{6}{10}\times \frac{1}{2}+\frac{3}{10}\times \frac{1}{2}=0.45\\ Pr(S)=Pr(S|A)Pr(A)+Pr(S|B)Pr(B)=\frac{4}{10}\times \frac{1}{2}+\frac{7}{10}\times \frac{1}{2}=0.55$$

$$Pr(A|L)=\frac{Pr(L|A)Pr(A)}{Pr(L)}=0.3/0.45=0.667\\ Pr(B|L)=\frac{Pr(L|B)Pr(B)}{Pr(L)}=0.15/0.45=0.333$$

Theorem Bayes’ Theorem: Let the events $B_1\dots B_k$ from a partition of the space S such that $Pr(B_j)>0$ for $j=1,\dots ,k$ and let A be an event such that $Pr(A)>0$ , Then for $i=1,\dots,k$ :

$$Pr(B_i|A)=\frac{Pr(B_i)Pr(A|B_i)}{Pr(A)}=\frac{Pr(B_i)Pr(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{k}Pr(B_j)Pr(A|B_j)}$$

## 条件贝叶斯定理 Conditional Version of Bayes’s Theorem

$$Pr(B_i|A\cap C)=\frac{Pr(B_i|C)Pr(A|B_i\cap C)}{\sum^k_{j=1}Pr(B_j|C)Pr(A|B_j\cap C)}$$

## 多步后验概率计算 Computation of Posterior Probabilities in More Than One Stage

$$Pr(A|H_1)=\frac{Pr(H_1|A)Pr(A)}{Pr(H_1|A)Pr(A)+Pr(H_1|B)Pr(B)}=\frac{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}\\ Pr(B|H_1)=\frac{Pr(H_1|B)Pr(B)}{Pr(H_1|A)Pr(A)+Pr(H_1|B)Pr(B)}=\frac{1\times \frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}=\frac{2}{3}$$

$$Pr(A|H_1\cap H_2)\\ =\frac{Pr(H_2|A\cap H_1)Pr(A\cap H_1)}{Pr(H_2|A\cap H_1)Pr(A\cap H_1)+Pr(H_1|B\cap H_1)Pr(B\cap H_1)}\\ =\frac{Pr(H_2|A\cap H_1)Pr(A|H_1)Pr(H_1)}{Pr(H_2|A\cap H_1)Pr(A|H_1)Pr(H_1)+Pr(H_1|B\cap H_1)Pr(B| H_1)Pr(H_1)}\\ =\frac{Pr(H_2|A\cap H_1)Pr(A|H_1)}{Pr(H_2|A\cap H_1)Pr(A|H_1)+Pr(H_1|B\cap H_1)Pr(B| H_1)}$$

$$Pr(A|H_1\cap H_2)=\frac{1}{5}\\ Pr(B|H_1\cap H_2)=\frac{4}{5}$$

## 条件独立事件 Conditionally Independent Events

$Pr(A|\bigcap^0 H_i)=0.052632;Pr(B|\bigcap^0 H_i)=0.947368$
$Pr(A|\bigcap^1 H_i)=0.027027;Pr(B|\bigcap^1 H_i)=0.972973$
$Pr(A|\bigcap^2 H_i)=0.013699;Pr(B|\bigcap^2 H_i)=0.986301$
$Pr(A|\bigcap^3 H_i)=0.006897;Pr(B|\bigcap^3 H_i)=0.993103$
$Pr(A|\bigcap^4 H_i)=0.003460;Pr(B|\bigcap^4 H_i)=0.996540$
$Pr(A|\bigcap^5 H_i)=0.001733;Pr(B|\bigcap^5 H_i)=0.998267$
$Pr(A|\bigcap^6 H_i)=0.000867;Pr(B|\bigcap^6 H_i)=0.999133$
$Pr(A|\bigcap^7 H_i)=0.000434;Pr(B|\bigcap^7 H_i)=0.999566$
$Pr(A|\bigcap^8 H_i)=0.000217;Pr(B|\bigcap^8 H_i)=0.999783$
$Pr(A|\bigcap^9 H_i)=0.000108;Pr(B|\bigcap^9 H_i)=0.999892$

$Pr(A|\bigcap^0 H_i)=0.333333;Pr(B|\bigcap^0 H_i)=0.666667$
$Pr(A|\bigcap^1 H_i)=0.200000;Pr(B|\bigcap^1 H_i)=0.800000$
$Pr(A|\bigcap^2 H_i)=0.111111;Pr(B|\bigcap^2 H_i)=0.888889$
$Pr(A|\bigcap^3 H_i)=0.058824;Pr(B|\bigcap^3 H_i)=0.941176$
$Pr(A|\bigcap^4 H_i)=0.030303;Pr(B|\bigcap^4 H_i)=0.969697$
$Pr(A|\bigcap^5 H_i)=0.015385;Pr(B|\bigcap^5 H_i)=0.984615$
$Pr(A|\bigcap^6 H_i)=0.007752;Pr(B|\bigcap^6 H_i)=0.992248$
$Pr(A|\bigcap^7 H_i)=0.003891;Pr(B|\bigcap^7 H_i)=0.996109$
$Pr(A|\bigcap^8 H_i)=0.001949;Pr(B|\bigcap^8 H_i)=0.998051$
$Pr(A|\bigcap^9 H_i)=0.000976;Pr(B|\bigcap^9 H_i)=0.999024$

$Pr(A|\bigcap^0 H_i)=0.818182;Pr(B|\bigcap^0 H_i)=0.181818$
$Pr(A|\bigcap^1 H_i)=0.692308;Pr(B|\bigcap^1 H_i)=0.307692$
$Pr(A|\bigcap^2 H_i)=0.529412;Pr(B|\bigcap^2 H_i)=0.470588$
$Pr(A|\bigcap^3 H_i)=0.360000;Pr(B|\bigcap^3 H_i)=0.640000$
$Pr(A|\bigcap^4 H_i)=0.219512;Pr(B|\bigcap^4 H_i)=0.780488$
$Pr(A|\bigcap^5 H_i)=0.123288;Pr(B|\bigcap^5 H_i)=0.876712$
$Pr(A|\bigcap^6 H_i)=0.065693;Pr(B|\bigcap^6 H_i)=0.934307$
$Pr(A|\bigcap^7 H_i)=0.033962;Pr(B|\bigcap^7 H_i)=0.966038$
$Pr(A|\bigcap^8 H_i)=0.017274;Pr(B|\bigcap^8 H_i)=0.982726$
$Pr(A|\bigcap^9 H_i)=0.008712;Pr(B|\bigcap^9 H_i)=0.991288$

$$x_i=\frac{ax_{i-1}}{ax_{i-1}+b(1-x_{i-1})}$$

$$Pr(P|pv)=0.99\\ Pr(P|nv)=0.05\\ Pr(N|pv)=0.01\\ Pr(N|nv)=0.95\\$$

1. 我们没文化，根据实验说明，我们有99% 的概率携带病毒，如果病毒致死律很高，这个概率足以让你准备后事。
2. 如果我们有文化，考虑下先验知识，病毒本身携带率那么低，当我们被检出携带病毒，那么我们结合携带率和实验准确度，可以得出：$Pr(pv|P)=\frac{Pr(P|pv)Pr(pv)}{Pr(P|pv)Pr(pv)+Pr(P|nv)Pr(nv)}=\frac{0.03\times 0.99}{0.03\times 0.99+0.97\times 0.05}=0.380$ ,这个看起来还可以抢救一下

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