Abstract: 本文介绍狄莫弗研究二项概率的动机，和伯努利大数定律产生联系的过程
Keywords: 狄莫弗，狄莫弗公式，二项概率，大数定律

狄莫弗的研究动因

亚伯拉罕·狄莫弗出生在法国一个新教徒家中，19岁时因为宗教信仰问题被抓入狱，在狱中度过了两年，为了避免迫害，21岁流亡伦敦，担任一名教师，在哪里他在教课的空余继续研习数学，主要是阅读刚出版不就的牛顿著作《自然哲学的数学原理》，他在数学领域取得多方面成就，并使他于 1697年 当选为英国皇家学会会员，这年他刚三十岁，他的一项著名结果，用他名字命名的公式：
$$
(\text{cos}\theta+i\text{sin}\theta)^n=\text{cos}n\theta+i\text{sin}\theta
$$
不过当时他没把公式写成这个样子。

1718年狄莫弗出版了《机遇论》（Doctrine of Chances）此书奠定了他在概率史上的地位，此书共三个版本1718年，1738年，1756年。人们说较早期的概率史上有三部里程碑性质的著作：

• 《推测术》——伯努利
• 《机遇论》——狄莫弗
• 《概率的分析理论》——拉普拉斯

有意思的是，狄莫弗研究二项概率并不受到伯努利的影响，反而，1718年版本的《机遇论》表明，他对伯努利的工作颇有一些看法，说白了就是对伯努利的研究没啥感觉，狄莫弗注意到这个问题纯属偶然：

1712年,一名叫亚历山大·喀明的人向狄莫弗提出一个问题：二人在甲家的地盘赌博，A每局获胜的概率是 $p$ ,B获胜的概率是 $q=1-p$ ，赌 $N$ 局，用 $X$ 表示A获胜的局数，约定：如果 $X\geq Np$ ,那么A付给甲 $X-Np$ 元，如果 $X<Np$ 那么 B付给甲 $(N-X)-Nq=Np-X$ 元，问甲所得的期望是多少。

提出这个问题的明显是个想开赌场的。不管结果，赢的多的一方要给甲服务费，而甲还很关系自己能收到多少服务费，所以希望狄莫弗帮忙算下期望。
根据问题，数学化后就是求下面的期望：
$$
D_n=E(|X-Np|)=\sum_{i=1}^{N}|i-Np|b(N,p,i)
$$
这里的 $b(N,p,i)$ 就是二项概率 $C^{N}_{i}p^i(1-p)^{N-i}$ 的函数形式。
狄莫弗在 $Np$ 为整数的条件下得到了下面的结论：
$$
D_N=2Npqb(N,q,Np)\tag{2}
$$
并且他只给 $p=\frac{1}{2}$ 的特例给出了证明，不过证明方法很容易推广到其他情况下，狄莫弗生成此公式在1721年提出，但是发表在1730年，现在我们可以在一般情况下证明：
$$
D_N=2\mu qb(N,p,Np)\\
\mu=[Np]+1\tag{3}
$$
其中 $[a]$ 这个表示为向下取整，也就是小于等于 $a$ 的最小整数。
容易验证， $Np$ 为整数时，公式(2)(3)是一致的。
这就完全回答了喀明的问题，但是 $N$ 较大的时候， $b(N,p,i)$ 不好算啊。所以狄莫想找到一种能便于计算的近似公式，他对这个问题进行讨论之前，对上面的公式做了点讨论（ 其实是从 $D_n=E(|X-Np|)=\sum_{i=1}^{N}|i-Np|b(N,p,i)$ 得到的），记：
$$
K_N=E(|\frac{X}{N}-p|)=\frac{D_N}{N}
$$
则由（2）公式，可以得到：
$$
K_N=2pqb(N,p,Np)
$$
容易证明（证明过程可以参考陈希孺《数理统计学简史》p47的注4）：
$$
lim_{N\to \infty}b(N,p,Np)=0
$$
这个证明可以用初等办法进行，而不必使用斯特林公式（斯特林公式在我们的基础概率论中有提到，但是当时是选学内容），由此可以得到 $lim_{N\to \infty}K_N=0$ 再因为 $P(|\frac{X}{N}-p|\geq \varepsilon)\leq \varepsilon^{-1}K_N$ 可以得到 $lim_{N\to \infty}P(|\frac{X}{N}-p|\geq \varepsilon)=0$ 。
没错，这就是伯努利的大数定理，当然这个证明方法与切比雪夫不等式证明方法类似，但是当时还没有方差这个东西。
狄莫弗继续证明了，当 $N\to \infty$ 的时候， $b(N,p,Np)$ 是以 $\frac{1}{\sqrt{N}}$ 的速度趋于 0 的，因此 $K_N$ 也是以同一速度趋于0，这可以解释为： 频率 $\frac{X}{N}$ 估计概率 $p$ 的精度，大致上和试验次数 $N$ 的平方根成比例，而不是当时看起来和 $N$ 成比例。后面我们还要继续研究这个问题。