Abstract: 本文作为第二章的开篇，主要介绍狄莫弗在二项概率逼近方面的研究，顺便解决了前面一篇我们说的伯努利大数定律中 $N$ 的确定方式。
Keywords: 狄莫弗，二项概率逼近

狄莫弗的二项概率逼近

本章开篇

前面提到的设某事件A的概率为 p未知，在同样的条件下独立进行N次试验，或者观察，其中同样的条件表明事件A出现的概率p在每次试验中都保持不变。发现事件A发生 $X$ 次, $\frac{X}{N}$ 称为事件A在这N次试验中的的频率，用现在数学语言描述，伯努利的大数定律就是说当 $N\to \infty$ 的时候，频率 $\frac{X}{N}$ 收敛于 $p$ ，然后伯努利就开始研究这个 $N$ 最少需要多大才能满足 $P(|\frac{X}{N}-p|\leq \varepsilon)\geq \frac{c}{c+1}$ 其中 $\varepsilon>0$ 为常数并且很小， $c>0$ 为常数并且很大。
伯努利给出的答案上文已经有描述，其侄儿尼古拉斯，也就是负责整理《推测术》的尼古拉斯也给出了自己的结论，和伯努利固定 $\frac{c}{c+1}$ 找 $N$ 的套路不同，尼古拉斯用了下面的描述方式
$$
P_d=P(|X-N_p|\leq d)\tag{1}
$$
这个公式显然是上面伯努利表示法的一个变形，尼古拉斯是固定 $N$ 来找 $P_d$ 。他的得到的结果是：
$$
P_d\geq1-max(a,b)\\
a=(\frac{[N(1-p)-d+1]Np^2}{(N_p+d)(N_p+1)(1-p)})^{\frac{d}{2}}\\
b=(\frac{(N_p-d+1)N(1-p)^2}{[N(1-p)+d][N(1-p)+1]p})^{\frac{d}{2}}
$$
当要满足 $P_d\geq \frac{c}{c+1}$ 则要找到最小的 $N$ 使满足：
$$
a\leq (c+1)^{-1}\\
b\leq (c+1)^{-1}
$$
上一章最后给出过具体的数字，尼古拉斯的解比伯努利的解有相当的改进，但是通过上面式子观察我们发现，$a,b$ 的计算依赖于 $p$ 这就有点不科学了，因为我们的目的就是为了推测 $p$ 是啥，当做已知数处理有点不太合理，如果用 $\frac{X}{N}$ 代替 $p$ 更是不合理，因为我们要求的就是 $N$ 所以不太合理，另一种做法是：把 $P_d$ 作为 $p$ 的函数，在 $p=\frac{1}{2}$ 处达到最小，因此只须对 $p=\frac{1}{2}$ 进行证明。
尼古拉斯的解有改进，但是还是没到完美，其根本原因是 $P_d$ 是一些二项概率之和，当时的条件下，还没有处理这种问题的方法。
狄莫弗从处理二项概率入手，取得了本质的突破，其成就对后世有极大影响，所以我们用一章来记录其过程

总结

本章主要讲解狄莫弗的研究结果，其对概率和数理统计的贡献大小不亚于伯努利。