Abstract: 本文介绍样本空间，公理化的概率的定义，以及概率的性质
Keywords: Sample Space，Finite Sample Space，Kolmogorov axioms(Probability Axioms)，Definition of Probability，Properties of Probability，Bonferroni Inequality

# 概率定义

## 样本空间 Sample Space

Definition: The collection of all possible outcomes of an experiment is called the sample space of experiment

$${1,2,3,4,5,6}$$

### 有限样本空间 Finite Sample Space

$$T=f(x)$$

$${1,2,3,4,5,6}$$

$$X_1={1,2,3,4,5,6}\\ X_2={1,2,3,4,5,6}\\ then:\\ Y_2={(x_1,x_2)|x_1\in X_1 ,x_2 \in X_2} or\\ Y_2=X_1\times X_2$$

## 概率是什么 What is the Probability ?

### 柯氏公理 1 Kolmogorov Axiom 1

$$Pr(A) \geq 0$$

### 柯氏公理 2 Kolmogorov Axiom 2

$$Pr(S)=1$$

### 柯氏公理 3 Kolmogorov Axiom 3

$$Pr(\bigcup^\infty_{i=1}A_i)=\sum^\infty_{i=1}Pr(A_i)$$

### 概率的定义 Definition of Probability

Definition: A probability measure ,or simply a probability,on a sample space S is a specification numbers Pr(A) for event A that satisfy of Axioms 1,2 and 3

## 概率的性质 Properties of Probability

### T1: $Pr(\emptyset) = 0$

①设事件A对应空集合，根据公理1，设其概率是
$$A=\emptyset\\ Pr(A)\geq0$$

②我们再设一个事件S，其包含全部样本点，那么这个事件就变成了必然事件，根据公理2，其概率
$$Pr(S)=1$$

③且根据集合论
$$S \cap A=\emptyset$$

④根据集合论
$$S \cup A=S$$

⑤根据公理下面即将要证明的T2可以得到
$$Pr(S)=Pr(S\cup A)=Pr(S)+Pr(A)=1$$

$$Pr(A)=0$$
Q.E.D

$$Pr(\emptyset)=Pr(\bigcup^\infty_{i=0}A_i)=\sum^\infty_{i=0}Pr(A_i)=\sum^\infty_{i=0}Pr(\emptyset)$$

$$Pr(A)=0$$
Q.E.D

### T2: $Pr(\bigcup^n_{i=1}A_i)=\sum^n_{i=1}Pr(A_i)$

T2是对公理3的一个退化版本，也可以叫加法原理，无限个不相交事件退化成有限个

$$Pr(\bigcup^n_{i=1}A_i)=Pr(\bigcup^\infty_{i=1}A_i)\\ =Pr(\bigcup^n_{i=1}A_i\cup\bigcup^\infty_{i=n+1}A_i)\\ =Pr(\bigcup^n_{i=1}A_i)+Pr(\bigcup^\infty_{i=n+1}A_i)\\ =Pr(\bigcup^n_{i=1}A_i)+0\\ =\sum^n_{i=1}(Pr(A_i))$$
Q.E.D

### T3: $Pr(A^c)=1-Pr(A)$

$$A^c\cap A=\emptyset\\ A^c\cup A=S\\ Pr(A\cup A^c)=Pr(A)+Pr(A^c)=Pr(S)=1\\ Pr(A)=1-Pr(A^c)\\$$
Q.E.D

### T4: If $A\subset B$ then $Pr(A)\leq Pr(B)$

①$A^c\cap B\neq \emptyset ,so,Pr(A^c\cap B)>0$

②$B=A\cup(A^c\cap B)$

③$A\cap(A^c\cap B)=\emptyset$

④$Pr(B)=Pr(A)+Pr(A^c\cap B)$

⑤$Pr(B)>Pr(A)$
Q.E.D

Q.E.D

### T6: $Pr(A\cap B^c)=Pr(A)-Pr(A\cap B)$

① $(A\cap B)\cap(A\cap B^c)=\emptyset$

② $(A\cap B)\cup(A\cap B^c)=A$

③ $Pr(A)=Pr(A\cap B)+Pr(A\cap B^c)$

$Pr(A\cap B^c)=Pr(A)-Pr(A\cap B)$

Q.E.D

### T7: $Pr(A\cup B)=Pr(A)+Pr(B)-Pr(A\cap B)$

① $A\cup B=B\cup(A\cap B^c)$

② $B\cap(A\cap B^c)=\emptyset$

③ $Pr(A\cup B)=Pr(B)+Pr(A\cap B^c)$

④ $Pr(A\cup B)=Pr(A)+Pr(B)-Pr(A\cap B)$
Q.E.D

### T8: Bonferroni Inequality

$$Pr(\bigcup^n_{i=1}A_i)\leq \sum^n_{i=1}Pr(A_i) \\ Pr(\bigcap^n_{i=1}A_i)\geq 1-\sum^n_{i=1}Pr(A^c_i)$$

？第二个不等式
$$1=\sum^n_{i=1}Pr(A^c_i)\\ Pr(\bigcap^n_{i=1}A_i)+\sum^n_{i=1}Pr(A^c_i)\geq 1$$

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