Abstract: 本文介绍一些关于概率的几点看法，主要来自伯努利的推测术。
Keywords: 主观概率，客观概率，《推测术》，先验，后验，因果律，道德确定性，小概率事件原理，贝叶斯

关于概率的几点看法

今天我们继续介绍《推测术》中对我们如今仍有影响的观点，伯努利把概率分为“主观概率”和“客观概率”，其余的有些观点也来自前人，但值得注意的有下面几条：

• 客观概率分为两类：
  1. 先验概率（在试验之前就知道了，与贝叶斯公式中的先验概率不同，贝叶斯公式我们会在后面给出），可以先验地计算的概率，从现在角度来看就是古典概率，计算建立在对称性（早就知道的事实，不需要证明）基础上的等可能性。
  2. 后验概率，这种是统计概率的一种表示，比如，某地区，“出生男孩”这个事件的概率，通过大量观察来后验地计算。
• 伯努利采取一种机械决定论的观点，也就是说，世界上的一切事物都受到严格的因果律支配。他分析掷骰子这个例子，认为，若把一切所有相关的条件全部研究清楚，并且控制得当，投掷结果就不再是随机的，比如，我们控制了骰子的大小，质量分布，投掷力度，投掷方向，地球引力，甚至月亮的引力，等等。当一切都相同的话，结果不随机了，而是确定的，大科学家拉普拉斯也采取同样的观点，对掷骰子的随机结果是因为：对于某些影响投掷的结果的条件，我们还没有发现，所以不可预测，也就是随机现象的出现。
• 伯努利引进了所谓的“道德确定性”的概念（moral certainty），如果对于一个事件，我们不能确定其发生，但是它被认为有极大的可能性以至于几乎完全有可能发生，就称它有到的确定性。用简单的话来说，当事件发生的概率接近于1的时候，我们就说其是到的确定性的，但是问题是，如何才能判断是否接近 1，比如，我们可以说0.9接近1，但是我们当以0.99作为接近1与否的标准（ $p(x)\geq 0.99$ 时算接近1），那么0.90不算接近1。与此同时，当事件的概率接近于0的时候，这个事件被称为“道德否定”的，这个概念对后世的数理统计有非常重大的影响，在统计推断的时候，我们一般无法保证推断结果100%没有出错的时候，于是，我们提出一个很小的数 $a > 0$ 使得出错的概率不大于 $a$ ，这就是说，错误的结果是“道德否定”发生的，推断可信，否则这个推断的错误不是“道德否定”的，推断结果不能接受。现在我们把“道德确定性”叫做“事实上的确定性”（practical certainty），把 “概率很小的事件，在一次试验中极不可能发生”的看法叫做“小概率事件原理”，这个原理每天都在使用，比如我们可以不用担心飞机回失事，或者你的股票能一年涨十倍这种，都是不需要抱太大希望的。
• 伯努利主张把古典概率“等可能性”的思想扩展到主观概率的场合，他认为，主观来推测一个试验两个结果的可能性的时候，如果我们不知道任何咸盐的情况下，我们应该给他们是等可能的主观概率。比如两个人比赛下棋，我们不知道他们之间的水平高低，所以给出每人 $\frac{1}{2}$ 的获胜概率。或则在其他实验中，一个数字 $a$ 可能出自 $[b,c]$ 之间的任意一个数，我们不知道有什么分布和什么特点的时候，我们认为 $a$ 是 $[b,c]$ 间的均匀分布。
  最后一点后世科学家把它称作 “同等无知原则”，在数理统计史上有极其重要的意义，英国学者贝叶斯在1763年发表的论文就基于这个思想，同时这篇论文建立了贝叶斯学派。不确定贝叶斯是否受到《推测术》。大数学家拉普拉斯也有提出——“不充分理由原则”，思想与此相同。

  总结

  本文用伯努利的几个基本观点，来介绍数理统计学的重要基础，看似平常的原理值得我们注意。