# 随机变量函数

## 有离散分布的随机变量 Random Variable with a Discrete Distribution

$$Y\in {0,1,2,3,4}\\ Pr(Y=1)=Pr(X\in {4,6})=\frac{2}{9}\\ Pr(Y=2)=Pr(X\in {3,7})=\frac{2}{9}\\ Pr(Y=3)=Pr(X\in {2,8})=\frac{2}{9}\\ Pr(Y=4)=Pr(X\in {1,9})=\frac{2}{9}\\ Pr(Y=0)=Pr(X\in {5})=\frac{1}{9}\\$$

Theorem Function of a Discrete Random Variable. Let $X$ have a discrete distribution with p.f. $f$ and let $Y=r(X)$ for some function of $r$ defined on the set of possible values of $X$ For each possible value y of $Y$ the p.f. $g$ of $Y$ is
$$g(y)=Pr(Y=y)=Pr[r(X)=y]=\sum_{x;r(x)=y}f(x)$$

## 有连续分布的随机变量 Random Variable with a Continuous Distribution

1. 根据条件我们有：
$$f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}&\text{for } -1\leq x\leq 1\\ 0&\text{otherwise} \end{cases}$$
2. 分析我们的目标函数 $Y=X^2$ 其定义域 $[-1,1]$ 其值域 $[0,1]$
3. 那么随机变量 $Y$ 的c.d.f. 应该是：
$$G(y)=Pr(Y\leq y)=Pr(X^2\leq y)\\ =Pr(-y^{1/2}\leq X\leq y^{1/2})\\ =\int^{y^{1/2}}_{-y^{1/2}}f(x)dx=y^{1/2}$$
4. 因为$0<y<1$ 所以 c.d.f. g(y)是
$$g(y)=\frac{dG(y)}{dy}=\frac{1}{2y^{1/2}}$$

Theorem Linear Function: Suppose that X is a random variable for which the p.d.f. is f and that $Y=aX+b(a\neq 0)$ .Then the p.d.f. of Y is
$$g(y)=\frac{1}{|a|}f(\frac{y-b}{a}) \text{ for } -\infty <y<\infty$$

## 概率积分变换 The Probability Integral Transformation

🌰 ：

$$f(x)= \begin {cases} e^{-x}& \text{ for } x>0\\ 0&\text{ otherwise} \end {cases}$$

$$F(x)= \begin {cases} 1-e^{-x}& \text{ for } x>0\\ 0&\text{ otherwise} \end {cases}$$

$$G(y)=Pr(Y\leq y)=Pr(1-e^{-x}\leq y)=Pr(X\leq -log(1-y))\\ =F(-log(1-y))=1-e^{-[-log(1-y)]}=y$$

Theorem Probability Integral Transformation .Let $X$ have a continuous c.d.f. $F$ and let $Y=F(x)$. (This transformation from $X$ to $Y$ is called the probability integral transformation)This distribution of $Y$ is uniform distribution on the interval of $[0,1]$

1. $F$ 是单随机变量 $X$ 的c.d.f. 那么其定义域可以是 $\mathbb{R}$ 但是其值域为 $[0,1]$
2. 因为 $Y=F(X)$ 所以 $Y\in [0,1]$ 并且 $Pr(Y>1)=Pr(Y<0)=0$
3. 那么如果我们想找到 $X$ 中的某个点 $x_0$ 和 $Y$ 中的 $y_0$ 对应相当于3.3中关于分位数的计算中，$X$ 的 $y_0$ 分位数，并且每个分位数和对应的分位是一一对应的
4. 这样的话，根据意义对应的关系，如果要保证 $Y\leq y_0$ 的充分必要条件是 $X\leq F^{-1}(y_0)=x_0$
5. 那么对应的概率关系就是 $G(y)=Pr(Y\leq y)=Pr(X\leq x_0)=F(x_0)=y$
Q.E.D

Corollary Let $Y$ have the uniform distribution on the interval $[0,1]$ ,and let $F$ be a continuous c.d.f. with quanntile function $F^{-1}$.Then $X=F^{-1}(Y)$ has c.d.f. $F$

## 模拟随机 Simulation

1. 使用系统api生成若干个均匀分布的随机数 $\vec{x}$
2. 求目标分布的c.d.f的逆函数 $F^{-1}$
3. 求目标c.d.f.分布的随机变量 $F^{-1}(\vec{x})$