【数字图像处理】2.5:图像傅里叶变换（快速傅里叶变换FFT）

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Abstract: 数字图像处理：第7天
Keywords: 傅里叶变换，图像傅里叶谱，二维傅里叶变换

本文最初发表于csdn，于2018年2月17日迁移至此

开篇废话

今天公司的网不知怎么了，死活打不开CSDN，公司有100多架客机，也有极限速度60kb/s的网速，还有3K的工资。

图像FFT

上篇已经介绍了关于2D FFT的相关知识，这篇只介绍在图像中的应用，对于一幅图像，做二维FFT后，即可得到其傅里叶变换，傅里叶变换后是二维复数矩阵，因为二维数组，如果是实数，是可以通过变换到0~255通过灰度图像显示出来，而变换结果是复数，所以我们通过显示其幅度，即复数的模，来显示傅里叶谱（幅度谱），不废话，上图：
原图:
SouthEast
FFT结果:
SouthEast 1

可以看出，原图为大名鼎鼎的Lenna图，下面的为FFT后的幅度谱，其主要数值分布在四个顶点附近，图像中的位置坐标表示为（u，v），四个顶点分别表示（0，0），（0，max（v）），（max（u），0），（max（u），max（v）），至于为啥是这四个点，我也没研究明白，但是（0，0）附近是可以解释为低频分量较多，但是我们平时看到matlab的图是在图像中心的，这一步需要经过一个简单的变换，只要将原图中（坐标为表示x，y）x+y为偶数时，f（x，y）变成是其相反数，即-f（x，y），我们称之为Shift；之后可以得到中心化后的幅度谱：
SouthEast 2

此图中图像聚集在图像中心，与Matlab中结果类似，但Matlab中显示的更多，具体原因不清楚，但我感觉是Matlab
对最大值做了处理，因为最大值和最小值之间相差太大，所以拉伸后在变换到0~255，有些结果小于1，无法显示。
中心局部放大:
SouthEast 3

经过傅里叶逆变换后，再把图像Shift回来，即可得到原图，下面再描述一些变换结果：
原图
SouthEast 4
频谱
SouthEast 5
原图
SouthEast 6
频谱
SouthEast 7
原图
SouthEast 8
频谱
SouthEast 9
未中心化的频谱
SouthEast 10

1
2
3
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#include "Image_FFT.h"

/*
 中心化，根据傅里叶性质的平移性质
 */
void FFT_Shift(double * src,int size_w,int size_h){
    for(int j=0;j<size_h;j++)
        for(int i=0;i<size_w;i++){
            if((i+j)%2)
                src[j*size_w+i]=-src[j*size_w+i];

    }

}
/*
 图像快速傅里叶变换，图像大小为2的N次幂
 */
void ImageFFT(IplImage * src,Complex * dst){
    //FFT_Shift(src, src);
    if(src->depth!=IPL_DEPTH_8U)
        exit(0);
    int width=src->width;
    int height=src->height;
    double *image_data=(double*)malloc(sizeof(double)*width*height);
    for(int j=0;j<height;j++)
        for(int i=0;i<width;i++){
            image_data[j*width+i]=GETPIX(src, j, i);

    }
    FFT_Shift(image_data,width, height);//图像中心化
    FFT2D(image_data, dst, width, height);
    free(image_data);

}
/*
 将幅度值伸缩到0到255，用于频谱显示
 */
void Nomalsize(double *src,double *dst,int size_w,int size_h){
    double  max=0.0,min=DBL_MAX;
    for(int i=0;i<size_w*size_h;i++){
        max=src[i]>max?src[i]:max;
        min=src[i]<min?src[i]:min;
    }
    double step=255.0/(max-min);
    //printf("%d",test);
    //printf("max:%lf   min:%lf\n",max,min);
    for(int i=0;i<size_w*size_h;i++){
        dst[i]=(src[i]-min)*step;
        dst[i]*=45.9*log((double)(1+dst[i]));
    }

}
/*
 获得频谱
 */
void getAmplitudespectrum(Complex * src,int size_w,int size_h,IplImage *dst){
    double *despe=(double *)malloc(sizeof(double)*size_w*size_h);
    if(despe==NULL)
        exit(0);
    double real=0.0;
    double imagin=0.0;

    for(int j=0;j<size_h;j++)
        for(int i=0;i<size_w;i++){
            real=src[j*size_w+i].real;
            imagin=src[j*size_w+i].imagin;
            despe[j*size_w+i]=sqrt(real*real+imagin*imagin);

        }
    Nomalsize(despe, despe, size_w, size_h);
    for(int j=0;j<size_h;j++)
        for(int i=0;i<size_w;i++){
            cvSetReal2D(dst, j, i, despe[j*size_w+i]);

        }
    free(despe);

}
/*
 图像傅里叶反变换
 */
void ImageIFFT(Complex *src,IplImage *dst,int size_w,int size_h){
    Complex *temp_c=(Complex*)malloc(sizeof(Complex)*size_w*size_h);
    if(temp_c==NULL)
        exit(0);
    for(int i=0;i<size_w*size_h;i++)
        Copy_Complex(&src[i],&temp_c[i]);
    Complex *temp=(Complex*)malloc(sizeof(Complex)*size_w*size_h);
    if(temp==NULL)
        exit(0);
    double *temp_d=(double *)malloc(sizeof(double)*size_w*size_h);
    if(temp_d==NULL)
        exit(0);
    IFFT2D(temp_c,temp,size_w,size_h);
    for(int j=0;j<size_h;j++)
        for(int i=0;i<size_w;i++){
            temp_d[j*size_w+i]=temp[j*size_w+i].real;
        }
    FFT_Shift(temp_d, size_w, size_h);
    for(int j=0;j<size_h;j++)
        for(int i=0;i<size_w;i++){
            cvSetReal2D(dst, j, i, temp_d[j*size_w+i]);
        }
    free(temp);
    free(temp_c);
    free(temp_d);

}

下一篇继续研究傅里叶变换的应用；

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