谭升
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【数理统计学简史】1.5 《推测术》前三部分内容提要

《推测术》前三部分内容提要

本文我们主要介绍伯努利,我们这里要说一下我们主要介绍的伯努利全名叫:雅各布·伯努利,说一下全名是因为他们家族很多人都是数学家,陈老师书中说至少有12人,其中5位在概率论方面有贡献,雅各布的弟弟约翰,和侄儿尼古拉斯都是概率论的贡献者。
雅各布的父亲本来想让他当一个神职人员,但是他爱好的是数学,似乎尼古拉特斯拉也有相同的经历,都是放着神父不去做,而是转向科学,雅各布还对微积分,微分方程,和变分法有贡献,变分法包含著名的悬链线问题。
雅各布时代的著名科学家数学家还有牛顿和莱布尼兹,雅各布和莱布尼兹保持有书信来往。对于微积分的发展,有人认为雅各布可以作为除牛顿莱布尼兹以外的第一任。
雅各布和惠更斯保持通信联系,并研究过其著作《机遇的规律》,并以此启发了自己对概率论的兴趣。
从他的和莱布尼兹通信中得出,他写《推测术》(也译作《猜度术》)是在声明的最后两年,1705年雅各布离世,此书尚未定稿,然而由于家族内问题,其遗孀不放心把书稿交给其弟约翰,后来在莱布尼兹的催促下,才将书稿教给侄儿尼古拉斯,当时还没有期刊会议,学者之间的通讯就是相当于学术交流。

《推测术》全书239页,分四部分:
第一部分:对《机遇的规律》一书作了仔细的注解,总量相当于袁术的四倍。
第二部分:对排列组合进行了系统的论述。
第三部分:使用前面的知识,讨论了一些用骰子赌博问题
第四部分:是关于概率论在社会到的和经济领域的应用,其中包含本书精华,在概率史上不朽的地位,以其名字命名的大数定律——伯努利大数定律!
“大数定律”在本书中没有得到命名,而是 1837年 泊松的一篇著作中提到了“大数定律”这个名词。

第四部分是使得本书名垂概率史的重要原因。本书最后一部分长达35页记录了与友人讨论网球比赛中的计分问题。

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《推测术》前三部分,是古典概率的系统化和深化,比前面概率论的进步在于脱离了赌博等具体问题,而是着重与计算的一般规律和数学证明。完全和现代教材一致,并且其中意识到一些关键条件,比如,在重复扔骰子的描述中,书中表示,每次扔骰子获得点数的概率是不变的,这在以前被默认而无人特别说明,而伯努利指出了这一点,所以复合这种条件的模型被称为伯努利模型。他指明了独立概率下的乘法定理的表达方式,并在此基础上严格的证明了二项概率公式。
伯努利还开创了用无穷级数求和去计算概率的方法,那时候无穷级数尚属新的领域,其在本领域也有贡献。
书中第二部分,引进了排列的概念,证明了 $n$ 个相异的物件不同的排列数 $n!$ ,他也证明了 $n$ 个不全相异的物件的排列公式,组合方面,他也救了组合系数的性质,可以重复的组合数,超几何分布,特别是正整数幂次和的表达式
$$
\sum^{n}_{i=1}i^{m}=\frac{n^{m+1}}{m+1}+\frac{n^m}{2}+\sum^{\frac{m}{2}}_{i=1}\frac{1}{2i}B_{2i}C^{m}_{2i-1}n^{m-2i+1}
$$
其中 $B_{2i}$ 叫做伯努利常数,最初几个值是:
$$
B_2=\frac{1}{6},B_4=-\frac{1}{30},B_6=\frac{1}{42},B_6=-\frac{1}{30}
$$
得出一般值由下式归纳地定出:
$$
\frac{1}{2}=\frac{1}{2k+1}+\sum^{k}_{i=1}\frac{1}{2i}B_{2i}C^{2k}_{2i-1},k=1,2,\dots
$$
在伯努利之前也有人研究组合系数,包括莱布尼兹。《推测术》称为排列组合的教科书,对组合学也是一个重要的事件。
第三部分伯努利用前两部分的知识去研究帕斯卡,费马和惠更斯等人提出的赌博问题,共讨论了24个当时比较流行的赌博问题,今天看不算难,但是用了当时用了排列组合,加法,乘法定理,全概率公式,递推公式。这些都是现在我们依然在用的工具。
最后,伯努利在附录中给出了一些网球中取胜的概率问题,有些非常有难度,我们下面举一个简单的例子:
A,B 两个人打网球,每局A胜的概率为 $p$ 对应的 B 获胜的概率 $q$ ,并且满足 $p>0,q>0,p+q=1$ 规定:当一方领先不少于2局,且领先一方至少胜4局时,该方取胜,求A取胜的概率。
证明方法如下:
以 $h(i,j)$ 记在A已经胜 i局,B已胜 j 局的情况下,若B 胜,情况变为 $(i,j+1)$ 故全概率公式,有:
$$
h(i,j)=ph(i+1,j)+qh(i,j+1)\\
\text{set: }r=\frac{p}{q}=\frac{p}{1-p}
$$
通过带入数字,得到
$$
h(3,3)=p^2h(5,3)+2pqh(4,4)+q^2h(3,5)\\
=p^2+2pqh(3,3)
$$
于是就能得到
$$
h(3,3)=\frac{p^2}{p^2+q^2}=\frac{r^2}{r^2+1}
$$
然后我们再来看 $h(2,3)$ 就能得到
$$
h(2,3)=ph(3,3)+qh(2,4)=\frac{pr^2}{r^2+1}
$$

然后依次,计算 $h(3,2),h(2,2),h(3,1),h(1,3),\dots$
最后能得出结论:
$$
\frac{r^7+5r^6+11r^5+15r^4}{r^7+5r^6+11r^5+15r^4+15r^3+11r^2+5r+1}
$$

唯一需要解释的就是全概率公式那个部分 $h(i,j)=ph(i+1,j)+qh(i,j+1)$ 这个和我们常见的 $p(A)=\sum_{\text{All } i}p(A|B_i)p(B_i)$ 不太一样,我们这里的 $h$ 是最终A获胜的概率,而不是现在这场比赛就结束比赛,而是当前比赛不能分出胜负,而需要继续下去,此时,A可能获胜的概率是 $h(i,j)$ ,当比赛继续进行,这就和分赌本的问题有些类似,当比赛继续进行,有两种情况可能发生,一种是当A获得本轮胜利,那么A在赢得本轮后最终获胜的概率是 $h(i+1,j)$ 同理,相对的,如果B获得本轮胜利,那么A最终胜利的概率是 $h(i,j+1)$ ,那么由于结果不变,都是A获胜,那么本轮进行前后A获胜的概率应该是满足全概率关系的,也就是 $h(i,j)=ph(i+1,j)+qh(i,j+1)$
这个可能不太好理解,因为我们研究概率的时候,都是从前往后推到的居多,这种从后往前的递推关系见得不多,所以需要注意。

总结

本文介绍了《推测术》的前三章,伯努利作为祖师爷级别的任务,值得尊重,其理论值得深入研究。
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