谭升
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【数理统计学简史】1.3 帕斯卡和费马的通信

帕斯卡和费马的通信

费马就是费马大定理在大家学习数学的过程中应该比较容易接触到,在近年被证明,费马主要在数论方面的研究名声较大,其在概率中的恭喜有些偶然——他在 1654年7~10月 和帕斯卡有7封书信来往,其中3封是帕斯卡写给费马的。
这7封信都在讨论赌博问题,他们也是用计算等可能的有利与不利情况数,然后作为“机遇数”——概率的计算方法,当然那时候还没有确定概率这一名称,但是他们的方法的惊喜和复杂度,大大的前进了不少。
那时候他们已经使用了组合工具,递推公式,初等概率的一些基本规律也都用上了,他们还引入了一个叫做赌博值的概念,值等于赌注乘以胜利概率,这也就是概率论最重要的概念之一——数学期望的形成和命名过程,这个值并不是他们独创的,而是已经经过了一段时间的酝酿,。
这些信中讨论了分赌本问题,还有更复杂的输光问题:甲乙两个人各有赌本 $a$ 和 $b$ 元,每局输赢1元,要计算个人输光的概率。这个问题现在看起来都不是很好计算,所以这些信件中讨论的问题达到了非常高的水平。其在概率发展史上起到了重要作用。丹麦概率学者哈儿德认为这些通信奠定了概率论的基础。
这些信件的内容都是在讨论具体的问题,但是没有给出明确的陈述概率运算原则性的东西,比如他们使用了乘法,加法原理,但是没有将其作为一般原则凸现出来。
他们之间的的通信促成主要愿意可能是来自一个叫德梅尔的人,专业赌博家,他向帕斯卡请教了一些问题,但不知道为啥帕斯卡没有回答,而是写信给了费马,有些问题并不难,比如两个骰子扔24次,至少出现一对6点的机遇小于 $\frac{1}{2}$ 因为 $1-(\frac{35}{36})^{24}\approx 0.4914$ 另一方面看骰子只有 36 种等可能结果,而24占了一半以上,这似乎是矛盾的,很明显后面那个期望求法根本不对,这个我们现在学过点概率论的都能看出来。
他们的通信中分赌本用了非常有思想和技巧,我们下面来描述一下:
继承上文所说, $r_1$ 和 $r_2$ 为 A和B获胜要取得胜利的场数,帕斯卡发现,合理的分配应该和 $r_1,r_2$ 有关,因为赌博继续消去,胜负只与 $r_1,r_2$ 有关,记概率为 $e(r_1,r_2)$ ,那么就有下面的边界:
$$
e(0,r_2)=1,\text{ when } r_2>0\\
e(r_1,0)=0,\text{ when } r_1>0\\
e(a,a)=\frac{1}{2} \tag{1}
$$
并且递推公式:
$$
e(r_1,r_2)=\frac{[e(r_1-1,r_2)+e(r_1,r_2-1)]}{2}\tag{2}
$$
成立。
然后帕斯卡用了比较基础的方法,就是让赌博继续,那么接下来就会是 $e(2,1),e(1,2),e(3,1),e(1,3),e(3,2),e(2,3),\dots$ 他通过对这些数值进行观察,得到了通用解:
$$
e(r_1,r_2)=\sum^{r_2-1}_{i=0}C^{r_1+r_2-1}_{i}2^{-(r_1+r_2-1)}\tag{3}
$$

证明的方法就是(3)要先验证(1) 中的边界,然后用归纳法证明(3) 对于(2) 的正确性。

费马使用了不同的方法,费马列出了完备事件群,如果赌博结束,我们可以假设 $r_1<r_2$ 可能还需要 $r_1,r_1+1,\dots,r_1+r_2-1$ 次赌博。
如果A获胜了,而此时 B 已经获胜了 $i(i=1,\dots,r_2-1)$ 局,那么到A获胜结束,共需要 $r_1+i$ 局,那么如果从总数来看,$r_1+i$ 局中,前 $r_1+i-1$ 中,A获胜了 $r_1-1$ 局,然后第 $r_1+i$ 局 A获胜,比赛结束,那么这件事的概率就是:
$$
C^{r_1+i-1}_{r_1-1}2^{-(r_1+i-1)}\cdot 2^{-1}=C^{r_1+i+1}_{r_1-1}2^{-(r_1+i)}
$$
这个结果已经用到了二项式定理和概率乘法定理,对 $i=1,\dots,r_2-1$ 相加,得到

$$
e(r_1,r_2)=\sum^{r_2-1}_{i=0}C^{r_1-1+i}_{r_1-1}2^{-(r_1+i)}
$$

这里运用了加法定理

总结

这篇文章通过帕斯卡和费马的通信得出了概率论的相当多的基础,虽然当时没有总结成通用的定理,但是这两位高手已经在问题中使用了相关知识。
也许有人认为因为当时时间早,所以这些简单的问题被他们攻克了,所以他们青史留名,而我们现在可能比他们厉害,但是问题变得更难了。表面看起来是这样,但是忽略了时代背景,每一次进步都是从已知到未知的探索,受到时代背景和知识背景的局限,看似简单,却是非常困难,就像我们现在研究的困难的东西,百年后可能是幼儿园小朋友学的知识。

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