谭升
非主流人工智能科学家 我和外面那些妖艳的货不一样

【线性代数】1-2:点乘和长度(Dot Products and Length)

点乘和长度

点乘

点乘,也就是说向量乘法不止一种,我们今天来介绍的是比较常用的点乘,出了乘法,其实里面还有加法:
定义
dot product or inner product of $\textbf{v}$ and $\textbf{w}$
That is
$$
\textbf{v}=\begin{bmatrix} v_1\\v_2 \end{bmatrix}\\
\textbf{w}=\begin{bmatrix} w_1\\w_2 \end{bmatrix}\\
$$

$$
\textbf{v}\cdot \textbf{w} = v_1 \times w_1+v_2 \times w_2
$$

v和w和互换位置,也就是交换律存在。对于多维向量
点乘的结果是:

$$
\textbf{v}\cdot\textbf{w}=\sum_{i=1}^{n}v_i*w_i
$$

几何理解

其实代数是完全不需要借助几何图形,也能够非常严谨完备证明所有之间的内在关系,但是将代数与几何相互结合的情况下,可以比较轻松的解决一些几何问题,通过简单的数字计算

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长度

长度,向量是有长度有方向的,方向,我们按照坐标起点和终点来确定的,长度也是,按照二维平面,两点之间距离(更准确的说是笛卡尔坐标系下,利用勾股定理来计算的距离)
比如 $(0,0)$ 到 $(v_1,v_2)$ 的距离 $|\textbf{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$
so
$|\textbf{v}|^2=v_1^2+v_2^2$
眼熟不?厉害不?意外不?
没错就是$\textbf{v}\cdot\textbf{v}$

自己和自己的点乘结果就是向量长度的平方。

单位长度向量(Unit Vector)

长度为1的向量,获得方法,非零向量,所有分量除以自己的长度

Angles

90°

点乘结果为0的时候,两个向量夹角为直角,证明:

其他角度

后面我们使用到矩阵以后,这个夹角基本没用,但是单位长度的向量相乘,其结果是他们夹角的cos值

Conclusion

这一章讲了线性代数的核心,也就是我们知识树的根基算是讲完了,然后顺着根不断的遍历,这样先后顺序能使知识贯通,顺便吐个槽,我tm就不明白了,为啥上学的时候老师上来就干行列式,干了三个星期,直接干迷糊了,所以,我劝大家,看线性代数的书,如果前三章就有行列式了,这书就不用看了!

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