谭升
非主流人工智能科学家 我和外面那些妖艳的货不一样

【数字图像处理】5.3:灰度图像-图像增强 双边滤波 Bilateral Filtering

开篇废话

废话开始,话说昨天写博客写完了,发表以后居然刷出来的是空白,顿时很生气,因为写了一上午的东西瞬间就没了,于是在微博上吐槽了csdn,于是csdn的官方微博和客服微博都跟我进行了沟通和道歉,感觉态度还是不错的,作为用户没有付给他们钱,但还是受到了不小的重视,感觉还是不错。学习是一个被分享之后经过自己加工后再分享的过程,一个分享的平台是很重要的选择,好的平台能够学到知识,并能分享知识,和别人讨论知识,收集资源分享资源。希望大家共同进步。
图像增强,平滑第二天,虽然说是第二天,但要学习和研究包括写程序,都不是一天完成的。上一篇写的是线性滤波模板,此类模板我们可以叫他们静态模板,因为其只依赖于我们的选择,我们一旦选择完成,模板就唯一确定,不会在卷积的过程中产生变换,所以这类模板具有线性性质,但缺点是不灵活,不能根据不同灰度变化情况来实时的调整权重,双边滤波就是一种非线性模板,能够根据像素位置和灰度差值的不同产生不同的模板,得到不同的滤波结果。

基本思路

双边滤波器是针对高斯平滑的提升版本,高斯平滑根据像素邻域的距离决定权重,生成权重的函数为高斯函数,所以叫高斯平滑或者高斯滤波,效果是使图像模糊,并一定程度上的保存边缘,双边滤波的改进是增加了灰度值的影响,也就是邻域的像素灰度值如果和中心像素的灰度值越接近,那么权值在高斯权值的基础上在加上一个相对较大的权值,相反,如果灰度差很大,将会给已生成的高斯模板对应的位置加上一个小的权值,以此类推,并将模板系数归一化(和为1,其目的是完全平滑的图像结果不变),因此模板的系数不再单纯的依赖位置关系,更依赖于灰度关系,因此边缘将能够被有效的保存。

数学基础

数学开始,数学公式可能看的比较难懂,但是懂了以后就会彻底理解整个算法,上面的描述只需要几个公式就能准确的表示出来。
来看基础版本的公式,这个公式通用均值滤波和高斯滤波:
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上式中:将上式中的积分脑补成求和,求和范围是模板覆盖的范围,Center 1就代表模板的坐标位置(x,y),X就可以表示参数,比如高斯里的标准差参数。1/kd(x)为归一化参数,保证绝对平滑的位置灰度值不变,c的选择比较灵活,如果选择高斯函数,那么就产生了高斯滤波模板。
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上面是只利用位置(距离)产生模板系数的公式。下面我看一下只利用灰度信息产生一个模板(非线性):
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f表示灰度分布,也就是模板内被覆盖的灰度值,x(向量)代表原点位置,Center 1向量代表当前求和位置,同样积分改成求和,求和区间为模板覆盖的区间,同样1/kr(x)是归一化参数,保证平滑图片的不变性。
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根据上面的描述,函数c只根据位置来平滑,平滑效果好,但边缘保存弱,函数s只根据灰度差值产生模板,边缘保存效果好,平滑效果差。
为了得到一个边缘保持性好,同时平滑能力强的方法,我们决定将他们合体:
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这个公式总和了上面两种处理方法,同时根据距离和灰度差值产生模板系数,产生了一种新的非线性模板,归一化的k计算如下:
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对于图像,脑补成求和而不是积分,这个就是Bilateral Filter的形式,也就是说,c和s并没有规定为高斯函数,如果你有更好的,可以自己开发,当然最一般的情况下,c和s我们选择高斯函数:
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其中d表示距离,这里用欧氏距离来计算(欧氏距离就是初中学的最简单的那个): 
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$\sigma_d$为距离的标准差,由我们手动决定,但要注意的是,标准差对于一个高斯函数来说,决定的是它的“胖瘦”,也就是图形是宽还是窄,如果过窄,其中心权重接近1,其他权重会很小,极限情况下退化成冲击,则只有中心位置元素,如果标准差选择过大,高斯函数会过胖,也就是趋于一条直线,这时高斯平滑接近于均值,每个位置权重过于接近,并且,距离超过3倍的deta,那么权重也会很小,所以这个性质在我们选择参数和后面观察结果也是很有用的参考。
同理我们选择高斯函数作为s函数:
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式子中灰度差为:
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也就是模板内不同位置的灰度与中心灰度的差。
观察下处理结果,英文不难,不再翻译:
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来看原始论文的效果:
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主要观察点在猫咪的胡须,看到即使右下角特别模糊的情况下,猫咪的胡须还是可以识别出来的。

代码

与前面文章同样,代码未经过优化,知识原始公式的翻译,如果应用于工程,需要使用快速算法或将算法进行优化:

观察效果

下面来观察我们的效果,具体参数已经标在了图像上:

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观察结论:$\sigma_d$(距离标准差)越大会导致图像更加模糊,因为使用高斯函数,$\sigma_r$(灰度标准差)越大会导致细节变得更模糊,所以可以根据3倍 $\sigma$ 原则来选取合适的模板大小和deta大小,灰度差范围-255到255,距离差范围根据模板大小确定。

总结

双边滤波,可以很好的保存边缘并产生平滑效果,比高斯滤波和均值滤波效果更好,但计算量也更大
参考论文:

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