谭升
非主流人工智能科学家 我和外面那些妖艳的货不一样

【数字图像处理】4.7:灰度图像-频域滤波 傅里叶变换之离散时间傅里叶变换(DTFT)

开篇废话

本来是不想写DTFT的,原因1,与前面傅里叶变换(FT)推导过程相似,原因2,在图像处理中DTFT应用不是很广泛,但后来想想还是写出来,原因1,不写出来我觉得心里不踏实,原因2,DTFT是DFT的近亲,不写的话家族不完整,下一篇写DFT,其实写到这个阶段,要写的东西就少了许多,因为很多都是引用前面的结论和一些性质。但还是写出来吧,为了心里踏实。
忘了哪位中国上一辈的科学家说过,“搞科研不能糊弄,你糊弄它,它就糊弄你。”我这算不上科研,但感觉还是学踏实点心里有底,不至于以后哪里出了问题总是会怀疑自己知识基础有问题。还有,希望我们当代的科研工作者能好好搞研究,都不好好教学了还搞不好研究,那就真是一群废物了。

从离散周期信号的傅里叶级数推导离散时间傅里叶变换

一个某一个有限序列 $x[n]$ ,其在某一个阶段 $N(N_1<=n<=N_2)$ 内不为0,其外部,全部为0,用这个信号构造一个周期信号 $x'[n],x[n]$ 是$x'[n]$ 的一个周期。
SouthEast
$x'[n]$ 是周期信号,所以其有傅里叶级数,并且其傅里叶级数是周期的:

SouthEast 1
在 $N$ 内 $x'[n]=x[n]$ ,替换求和内容为:

SouthEast 2
在N外 $x[n]=0$ ;所以定义函数:
SouthEast 3
所以系数$a_k$ 正比于 $X(e^{jw})$ :
SouthEast 4
其中 $w0=\frac{2\pi}{N}$ ,上面式子和第一个式子结合起来就有:
SouthEast 5
因为 $w_0N=2\pi$ ,所以有:
SouthEast 6
随着 $N$ 的增加,$w_0$不断减少,当 $N$ 趋近于无穷大的时候, $w_0$ 趋近于无穷小,$x'[n]=x[n]$ ,此时,上式变成一个积分式,积分变量为w0,因为 $w_0=\frac{2*pi}{N}$ ,所以积分区间为 $2\pi$ ,就有:
SouthEast 7
因为 $X(e^jw)e^{jw}$ 的周期是 $2\pi$ ,所以积分区间可以去任何长度的 $2\pi$ 区间,得出以下变换对:
SouthEast 8
这就是离散时间傅里叶变换对,同样,转换到频域的叫分析公式,转换到时域的叫综合公式。

性质

SouthEast 9
SouthEast 10

总结

至此,傅里叶家的四种主要变换已经全部推导了以下,下一篇写下DFT是什么,然后介绍几个常见问题,并给出傅里叶家谱和之间的相互关系。

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