谭升
非主流人工智能科学家 我和外面那些妖艳的货不一样

【数字图像处理】4.5:灰度图像-频域滤波 傅里叶变换之连续信号傅里叶变换(FT)

开篇废话

这两天博客写的有点多,感觉博客应该是知识的总结和理解,而是单纯的为了写博客而写博客,不过这两天的内容连续性很强,所以一口气下来也未尝不是好事,这两三篇文章一直在研究理论,已经好久没写代码了,哈哈,后面准备写下DFT和采样相关的,然后就回归冈萨雷斯,看图像比看数学有意思多了。
看奥本海姆的《信号与系统》发现看到最后竟然没有DFT,因为在图像处理里面用到的主要是DFT,有点郁闷,不过感觉傅里叶家族的东西基本相通,一个能推出另一个,另一个的特化就是前一个,等等,希望把FS(傅里叶级数),FT(傅里叶变换),DTFT(离散时间傅里叶变换)看完以后能触类旁通,学明白图像频域滤波的基础知识。
本篇文章介绍FT-傅里叶变换,DTFT-离散时间傅里叶变换将在后面介绍,下篇将介绍采样定理,原因,采样定理是FT的直接产物,DTFT在图像中应用不大,但作为DFT的近亲,还是要简单介绍下。

傅里叶变换

我们平时所说的傅里叶变换实际上说的就是FT,其针对的原始信号是连续的信号,包括周期与非周期的(因为其涉及到收敛问题,所以连续信号的傅里叶变换是否存在要使用判断条件的),当然周期性的连续信号变换结果与傅里叶级数的变换结果是一致的。

从连续周期级数推导FT

下面我们来推导下傅里叶变换,看下面一个周期方波信号,宽2T1,周期为T:
Center
图像如下
Center 1
根据前面的知识,其存在傅里叶级数,且该信号的级数系数为:
Center 2
由于并未给出T1和T的具体值,这里我们设T=4*T1,其图像是:
Center 3
黑色包络线并非级数结果,因为结果是离散的,是红色点标出的值,红色点的纵坐标就是级数的系数值,横坐标为对应的频率。
可以看出,决定形状的变量有k,T1,和T,我们对ak的表达式做简单的变形,将w0与k合体,因为w0为基波频率,其根据周期T唯一确定,如下: 
Center 4
这样一来,如果式子右边以w为变量,且w连续,那么就是一种很常见的波形了,我们暂且称之为SA函数波形,也就是上图外面的包络波形,如果w是离散的,也就是求级数的情况,相当于对包络函数的等间隔取样。
接下来我们设定T为T1的整数倍,而w0由T唯一确定,而且,最重要的是,我们发现上面式子中,右侧公式的值不受T的影响(虽然w0受到T影响,但可以用k来抵消掉,而使w保持不变 )所以我们来调整T的大小,随之T的增大,w0不断变小,而包络线不变,这样当T逐渐增大,w0=2*pi/T逐渐变小当如下图:
当T逐渐增大的时候
Center 5
T进一步增加
Center 6
我们来看级数系数在对应的w0的变化在SA函数取样
当T=8*T1的时候:
Center 7
当T=16*T1的时候:
Center 8
当T趋近于无穷大,级数系数取样间隔变得无穷小,周期方波变成只有一个方波的非周期绝对可积信号。
以上通过扩大一个周期信号的周期,给出一个周期无穷大的绝对可积的信号的“傅里叶级数”形式,当我们原始信号为一个周期无穷大,或者是非周期的绝对可积信号,我们将使用相同的思想,先将原始信号按照一定的周期复制成周期信号,然后求解周期信号的傅里叶级数,然后将周期扩展到无穷大:
Center 9
上面图中Center 10是x(t)周期复制的结果,Center 10的傅里叶级数为:
Center 11
分析公式为:
Center 12
由于x(t)在-T/2到T/2内与Center 10相同,在区间-T/2到T/2外,x(t)为0,所以将Center 10换成x(t):
Center 13
定义Tak的包络函数
Center 14
所以,系数ak可以写为:
Center 15
把ak带回来式子Center 11中得到
Center 16
因为Center 17,改写为:
Center 18
当T趋近于无穷大的时候,w0趋近于无穷小上式子变成积分形式,上式求和内容为一个矩形面积,当w0趋近于无穷小的时候,Center 10收敛于x(t)。
Center 19
至此,我们得出傅里叶完整公式对:
Center 20
因为傅里叶变换是无限的“级数”,所以存在收敛问题:
* 条件1:信号绝对可积
* Center 21
* 条件2:任何区间内,x(t)具有有限个最大值与最小值
* 条件3:任何区间内,x(t)具有有限个不连续点,并且每个不连续点的值是有限值。
对于周期函数的傅里叶变换,其结果与傅里叶级数相同,我们可以理解为其傅里叶变换的一串冲击函数。
傅里叶变换的性质:
Center 22
至此,对连续函数的傅里叶变换进行了简要的推导,由于其在图像处理里面很少用到,但有可能在模式识别中有用到,所进行简要的介绍。

Share

You may also like...

说点什么

avatar
  Subscribe  
提醒

试录了几节线性代数视频课程,欢迎大家支持,
点击试看
点击购买更多内容

由于博客移至wordpress,部分公式和代码显示不正常,博主正在努力修改,如发现公式显示错误,请及时在文章下留言,感谢您的帮助,尽请原谅!