谭升
非主流人工智能科学家 我和外面那些妖艳的货不一样

【数字图像处理】3.2:二值图像-形态学处理 腐蚀和膨胀

开篇废话

今天来介绍形态学中最基础也是最重要的两个操作,腐蚀和膨胀,腐蚀和膨胀基本上是所有形态学操作的基础,除此之外还有补集(即二值图全部取反的操作,0变1,1变0),和反射(将所有坐标去反)。

之前使用过腐蚀和膨胀,仅仅是去噪,那时候连结构元(SE)的概念都没有,其实所有形态学操作,核心都是结构元(包括其形状和中心位置,中心位置可以不在结构元区域中),他的变化可以产生千奇百怪的效果,如果你能很好的设计结构元,那么你将能得到你想要的效果。

对于写博客,我觉得坚持下来还是不错的,一是可以反思总结一下学习结果,很多收获都是写博客的时候想到的,虽然写起来浪费很多时间,包括作图之类的工作。二是可以作为资料,以后查看,查漏补缺。三是与别人分享知识,如果有问题,可以有人及时指正,良师益友。

应用

腐蚀和膨胀的应用应该很多,因为其操作简单,属于基础运算,这里简单列举下用途,还是那句话,SE是关键,设计好了可以处理很多二值图像的问题。

膨胀:
– 桥接缝隙(缝隙点为0,且宽度比SE的宽度小)
– 消除细小的黑点(二值图像中的0,黑点比SE小)

腐蚀:
– 消除“桥梁”(细线装的白色条纹,值为1,宽度小于SE的宽度)
– 消除细小的白点(二值图像中的1,白点比SE小)

此外,经过组合,腐蚀和膨胀将完成基本全部的形态学操作,例如后面介绍的,开操作,闭操作,命中与不命中,提取边缘,提取骨骼,裁剪等等。

数学基础

数学形态学的数学基础是集合论,Milan Sonka etc.的《图像处理、分析与机器视觉》(以下简称IPAMV)中提到的一篇论文【Serra,1982】(此文在结尾附下载地址,版权归IEEE所有,请勿用于商业用途),文中给出了数学形态学的基本操作,和定义,如下:

Center

上图给出了最基本的腐蚀和膨胀操作,以及平移操作,由于上图中,英文较为简单,这里不再过多的解释,基本操作都是集合操作,如,交并补集操作。
首先,我在看这篇文章之前,对于腐蚀膨胀一直停留在SE划过窗口的模式,也就是,SE在图像上扫描,满足某些条件时进行某些操作,但这么做的问题在于,如果SE比窗口大,按照上述将无法操作,而且,我们无法验证膨胀的交换不变性,A膨胀B=B膨胀A,因为除非A,B大小相等,否者大的无法在小的上滑动。
而文中的标准定义是,对图像X进行移动,包括 $b_1,b_2,b_3,b_4\dots b_n$ 即集合B中的所有移动的结构的并集,换句话说,就是集合A使用SE,B集合在膨胀,等于B的子集分别腐蚀的并集(子集的并集等于B)。
上图,做了好久的图:
STEP1:首先观察左侧SE,红色为中心,和明显,SE具有各向同性,这也是一个结构元的重要特点,即各向同性与各向异性有不同的效果,也有不同的应用。

Center 1

STEP2:SE显示,集合X需要向左移1个单位。

Center 2

STEP3:SE显示,集合X需要向右移1个单位。

Center 3

STEP4:SE显示,集合X需要向上移1个单位。

Center 4

STEP5:SE显示,集合X需要向下移1个单位。

Center 5

STEP last:将所有结果取并集,两种颜色的表示两种操作都能产生那个单元。黑色为原始集合。

Center 6

其实这种解释方法比SE滑过窗口的解释更加严谨,也更容易理解,其实SE滑过窗口的原理与着相同,只是用了类似分治的思想。但我实现起来好像两种方法的算法复杂度差不多。

说道复杂度,由于腐蚀和膨胀属于集合操作,所以,不属于线性操作。

腐蚀不是膨胀的逆操作,虽然有时可以经过腐蚀后膨胀来恢复原图,但他们并不是一对互逆的操作。其具有对偶性,后续介绍(因为数学公式不好输入)

腐蚀的具体操作与膨胀类似,但有以下不同:
首先,移动方向,与膨胀不同,如果SE为:
$$
\begin{bmatrix}
0&1&0\
1&1&1\
0&1&0
\end{bmatrix}
$$
红色为SE原点,那么绿色代表的位移不是向右移动而是向左移动,即为反方向。
上面数学基础中给出的腐蚀公式并不准确,IPAMV中给出了准确的公式,位移b前应有负号,即-b。
其次,集合操作是交集,这个很关键。

腐蚀和膨胀的性质

这一节先空着,因为公式不好输入,后续会填上。。敬请期待。(广告:本人找工作,211本科,14年毕业,无工作经验,爱好图像处理,有人要的话随时牵走,工作地点限深圳,联系方式:下面留言)。

代码

上代码:

结果

膨胀:第一行SE各向同性,后两行SE各向异性
膨胀结果,结构元,与原图的差
Center 7

腐蚀:第一行SE各向同性,后两行SE各向异性
腐蚀结果,结构元,原图的差
Center 8

同一结构元不同中心位置的不同结果:
Center 9
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Center 11
结构元为简单,各向同性:
$$
\begin{bmatrix}
0&1&0\
1&1&1\
0&1&0
\end{bmatrix}
$$
实际中的应用,lena图,灰度图100为阈值后的二值图:
原图
Center 12

腐蚀与原图的差,膨胀与原图的差
Center 13

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