【概率论】3-6:条件分布(Conditional Distributions Part I)
【概率论】3-6:条件分布(Conditional Distributions Part I)

简短的回顾下前面的内容,我们从试验出发,然后得到事件,从事件引出对应的概率,然后把事件数字化后,随机变量作为一个函数成为我们研究的对象,在研究事件的时候我们研究了形如 $Pr(A|B)$ 的事件的条件概率,并且把它用到了全概率公式,贝叶斯公式等,并了解到其性质和普通事件的概率一致,甚至所有事件都可以定义为条件事件,条件概率从一开始就注定成为我们研究的重要一部分,所以当事件数字化之后,条件分布也就成了研究的重点,没错,我们今天这一大篇都是研究条件分布的,目前之研究两个随机变量的条件分布,多变量的可以依靠两个变量的推导出来。

【概率论】3-4:二维分布(Bivariate Distribution)
【概率论】3-4:二维分布(Bivariate Distribution)

再次回忆随机变量(函数),和样本空间(集合)之间的关系,随机变量是一个函数,把样本空间上的样本点映射到实数,那么如果有两个样本空间,那么这两个集合的笛卡尔积将会组成一个新的样本空间,这个新的样本空间产生的随机变量以及随机变量的分布就是联合分布

【概率论】3-3:累积分布函数(Cumulative Distribution Function)
【概率论】3-3:累积分布函数(Cumulative Distribution Function)

当我们从试验和事件通过随机变量数学化以后,所有数学性质都是围绕随机变量展开的,其中比较关键的就是随机变量到概率的映射,离散分布(离散随机变量)和连续分布(连续随机变量)我们前两篇已经讨论过了,而且描述这两种形式的随机变量的方法也不同,离散分布通过概率函数从随机变量得到概率,连续分布通过概率密度函数结合积分来得到概率,并且概率函数和概率密度函数都有一些自己的性质,可以帮助我们分析问题。我们这节的目的是找出一个可以同时用于离散分布和连续分布的工具,来指示随机变量和概率间的关系。

【概率论】3-2:连续分布(Continuous Distributions)
【概率论】3-2:连续分布(Continuous Distributions)

继续我们的概率论,首先我们回忆一下,我们首先从试验开始,然后得到样本空间,每个试验结果都是一个样本点,对应一个概率,试验结果的个数是离散的,确定的,比如扔硬币,扔骰子,随后我们将这些结果通过一个函数映射到一个随机变量,使其更加数学化,随机变量是个函数,有时候也表示函数值,为了研究这个函数值对应的概率,我们又提出了distribution这个概念。今天我们将随机变量这个坑补齐,因为我们研究离散的随机变量时,其定义域和值域都有洞,我们今天把洞补齐。

【概率论】3-1:随机变量和分布(Random Variables and Discrete Distributions)
【概率论】3-1:随机变量和分布(Random Variables and Discrete Distributions)

上面的应用题是简单的概率分析,简单到可能有点漏洞百出,但要准确建模,我觉得我再来一百年也搞不定,但是我们应该有一个比较直观的感受,我们在此之前研究的概率,都是基于事件的,而事件是样本空间的子集,样本空间是试验结果的集合,也就是说,我们研究的最原始的变量是结果,这个结果可以是下不下雨,打不打雷,扔硬币的结果,等等,在最初研究赌博天气预报可能这些可以接受,那时候概率可能还不太属于数学,或者只能算是数数的过程,但是随着研究深入,概率论转移到数学范围,我们就必须数学化,数学化的第一步就是把这些实验结果数字化,所以我们引出了随机变量。

【概率论】2-3:贝叶斯定理(Bayes’ Theorem)
【概率论】2-3:贝叶斯定理(Bayes’ Theorem)

贝叶斯公式在概率论和统计中处于非常核心的部分,所以才有贝叶斯学派这种派系(不知道在我们社会主义伟大祖国,搞个这种学派是不是违法的)对立学派是频率派,这两派具体怎么样我们先不去深入区分,因为我们目前研究的境界还不需要站队,而就算有一天你需要站队了,这种站队可能出于利益和权利的考虑也要少很多,而是更多的源自自己觉得哪一派更接近真理。

【概率论】2-1:条件概率(Conditional Probability)
【概率论】2-1:条件概率(Conditional Probability)

概率本身用途有限,为什么?首先从我们的知识图上可以看到微积分,线性代数,概率论本身处于数学基础,基础很少被直接应用于平时的问题中,而概率更是如此,除了算算彩票,骰子,基本没有什么场景能完全满足概率的“条件”,但是作为基础,统计和随机过程则是非常实际的应用方法,概率对于统计的一个作用就是:当知道某个特定的事件被观察到的时候,通过概率论的知识,可以更新某些事件的概率。 比如我们观察一个试验,事件A是我们关心的,试验结束后,我们得到的关于A是否发生的信息是事件B发生了,那么此时事件A的概率被称为条件B发生时A的条件概率。相关知识,提出全概率公式

【概率论】1-4:事件的的并集(Union of Events and Statical Swindles)
【概率论】1-4:事件的的并集(Union of Events and Statical Swindles)

这个公式在本文中将会进一步展开,把其延展到无数项,但是在开始之前我们还是来复习下这个定理,事件是试验结果的集合,集合的基本运算就是交,并,补,补集和概率的对应我们在1-1中的T3就是最基础的补集的概率计算,剩下就是交集和并集的计算了,T7给出了两个集合并集的概率计算公式