Abstract: 本文介绍计算机在计算中有可能引发的有效数字缺失
Keywords: 有效数字缺失

有效数字缺失

对计算机硬件或者底层功能足够了解，虽然表面教条枯燥，但是我们能在其中学到很多有可能出现，但是不容易察觉的陷阱

有效数字

在了解有效数字缺失之前，我们有必要确定下什么是有效数字，无论是小数还是大数，我们都能写成科学计数法的形式，在十进制下我们可以把所有数字写成：
$$
d_1.d_2\cdots d_n \times 10^p
$$
的这种形式，其中 $d_1\neq 0$，有效数字是 $d_1.d_2\cdots d_n$ 共 $n$ 位，注意我们这里之研究数学上的有效数字，物理中测量还有另一套说法，我们不考虑.
有效数字我们知道是什么了，那么什么情况下会缺失呢？数字不会凭空消失，一定是做了某种计算后，原本有 $n$ 位有效数字，结果变成了小于 $n$ 位，这就是缺失，而缺失不可能发生在右侧，也就是 $d_n$ 这一侧，原因是，如果这些位消失了，我们依然可以补充0作为有效数字，所以我们要注意左侧的数字。
比如：
$$
\begin{aligned}
&123.4567\\
-&123.4566\\
&\hline\\
=&000.0001
\end{aligned}
$$

这时候，我们原本的7位有效数字，瞬间变成1位，有问题么？没有问题，因为这是准确结果，但是从数值上看，有效数字减少了。
但是，如果减法的两个操作数，减数或者被减数，并不是一个确定的数，而是一个表达式，包含无限的小数呢？

“减法”=“陷阱”

考虑 $\sqrt{9.01}-3$ 这个表达式的值。
这个例子很简答，输入matlab能够直接得到答案，$\sqrt{9.01}\approx 3.001 662$ 所以 $\sqrt{9.01}-3\approx |0.001 662$ 减法之前有七位有效数字，结果有4位有效数字，也就是少了3位，这看起来没啥。
然后我们假定，我们有一种特殊的计算机，其浮点数最多只能保存十进制的3位有效数字，（书中说是三位计算机，表达不是很准确，会和三个二进制位混淆，所以我们说这个计算机只能计算3位十进制）那么我们如果按照上面的计算过程，那么会得到：
$$
\sqrt{9.01}\approx 3.001 662=3.00\\
\sqrt{9.01}-3=0
$$
结果是0，第一步我们把3.001662保存成3.00 的原因是计算机只能保存3位十进制数，所以这个结果是截断误差造成的，然后相减得到了|0.00，理想情况，有效数字是1.66，可见一个都不对。
我们这里所说的有效数字是和真实计算结果数字上的比较，不是比较大小，只考虑尾数，不考虑指数。
两个相近的数相减，可能会造成有效数字的缺失
但是你可能说，没办法，这是机器的限制，你那个能存一百位有效数字的计算机来就可以了，如果你这么想，那就没得聊了，
有没有办法？当然有办法！

解决方法

解决办法的核心思想是：把相近的两个数变成不相近的！
同样使用只有三维有效数字的计算机
$$
\sqrt{9.01}-3=\frac{(\sqrt{9.01}-3)(\sqrt{9.01}+3)}{\sqrt{9.01}+3}=\frac{|0.01}{3.00+3}=\frac{1}{6}=1.67\times 10^{-3}
$$
上面这种方法叫做共轭等式，可以避免两个相近的数字相减。下面我们看另一个例子，主要技巧也是用一些恒等式：
$$
E_1=\frac{1-\text{cos}x}{\text{sin}^2x}
$$
明显得当$x\to 0$ 的时候 $\text{cos}x\to 1$ 那么就有可能造成有效数字缺失，与上面类似的，我们也有共轭等式：
$$
E_2=\frac{(1-\text{cos}x)(1+\text{cos}x)}{\text{sin}^2x(1+\text{cos}x)}=\frac{1}{(1+\text{cos}x)}=E_1
$$
然后我们就写个代码来观察下 $E_1$ 和 $E_2$ 在 $x\to 0$ 的时候的表现，是否 $E_2$ 更准确，我们写一段python程序：

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import math
x=1.0
for i in range(0,16):
    x=x/10
    cos_x=math.cos(x)
    sin_x=math.sin(x)
    e1=(1- cos_x)/pow(sin_x,2)
    e2 = (1 ) / (1 + cos_x)
    print '|%1.16f|%1.16f|%1.16f|' % (x,e1,e2)

运行结果是：

从 0.00000001开始 $E_1$ 崩溃，而 $E_2$ 保持稳定。
到0.00000001崩溃的原因是cos在这个位置截断后就是1.0：

同样，我们这套方法的核心就是不要见相近的数字，只要有减法就要小心，注意前后两个数是否相近，另一个例子是二次方程的求解，对于公式法我们必须要计算：
$$
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$
其中要注意的是
$$
x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$
对应的方法就是把这个计算改成：
$$
x_1=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})\cdot(+b+\sqrt{b^2-4ac})}{2a(+b+\sqrt{b^2-4ac})}=\frac{-4ac}{2a(+b+\sqrt{b^2-4ac})}=\frac{-2c}{(b+\sqrt{b^2-4ac})}
$$
当然这里面还有问题就是 $b^2-4ac$ 的部分依然存在减法
而且 $b$ 是负数的时候，依然会存在 $b+\sqrt{b^2-4ac}$ 相近的情况，尤其是 $ac<<b^2$ 的时候，这时候计算最好使用：
$$
x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
x_2=\frac{2c}{-b+\sqrt{b^2-4ac}}
$$

总结

有效数字可能会带来很小的误差，也可以带来很大的误差，所以，不管什么时候，我们能避免减法就避免减法，尤其减法的两个数字接近的时候，这个时候更危险。