Abstract: 数字图像处理：第26天
Keywords: 卷积，相关，空域滤波
本文最初发表于csdn，于2018年2月17日迁移至此
开篇废话
废话开始，博客已经写到第28篇了，但书已经看了两个月了，每天虽然很累，但感觉收获还是很多的，一个是感觉自己找到门路，学习基础是很无聊的，因为不会直接做出结果，没有成就感，但回头看看写的博客和代码，感觉确实有提高，群里好多硕士也都是被老板抓过来就做图像类的项目，有些人根本不知道是啥，现学编程，找篇论文，抓起OpenCV一顿找大牛求教，最后做出来个结果，其实之前我也是这样，做出来东西以后感觉自己收获很多，也有成就感，不过现在看看有点空中楼阁的意思，就像很多人做了很多图像项目，却连基本的卷积，相关，平滑，锐化都说不明白，他们同样能把工作干的很出色，但对基础并不是很熟悉，更多的人做图像的初衷并不是爱好，而是单纯的工作，或者被动的学习。兴趣是最好的老师，值得庆幸的是，虽然每天工作一天，我还是很有激情的学了这么久，而且热情更加高涨。
相声四门功课，说学逗唱，唱是太平歌词，但很多人不会唱太平歌词，因为那个东西很枯燥并且很难，而且现在没人要求你必须学全了四门功课才能上岗，所以，现在相声不好听，不是市场不景气，是做的不够好，为啥郭德纲就能卖出票，为啥十几年前老郭都吃不上饭了还坚持着，他后来说过，就是爱这行。同样，图像的基础很庞杂，综合学科，线性代数，概率论，微积分，信号与系统，数字信号处理，数论等一大堆涉及的知识，如果是真爱，慢慢来，一点点的学扎实，一定会有用武之地，虽然公司要硕士博士去做图像算法，但我相信，只要学的扎实，学的深入，会有人要我的
空域滤波基础介绍
今天废话多了点，因为内容不是很多，滤波的概念其实是频域概念，即对信号频率进行处理，高于或低于截止频率的将被干掉，或者带通带限，就有了高通滤波器，低通滤波器。频域的相乘对应于时域的卷积，于是，空域滤波器（空间滤波器也叫卷积核，空间掩膜，核，模板，窗口等）和图像的卷积能达到和频域相同或相近的效果，所以我们要说先图像空域的卷积，值得注意的是空间滤波器只有线性滤波器和频域对应有关联，非线性滤波器在频域无法实现。
空间滤波器组成：
- 一个邻域（典型的是以某一点为中心的矩形）
- 对该邻域做规定的运算，得到结果赋值到邻域中心位置，特别的，赋值到邻域对应的中心并不是原图上的，而是结果上的，因为本步计算的结果将不会影响下一步计算，所以原图像不能被改变
如果执行线性操作，将可以在频域找到对应操作，如果采用非线性操作，频域则无对应。一般掩膜使用奇数x奇数大小，因为这样中心为整数坐标：
线性计算如下，w为模板，f为图像：
示意图：
与卷积相似的计算，叫做相关，相关时模板从图像上划过，计算模板与图像每个位置对应的乘积并求和，赋值给中心位置，卷积类似但是要将模板旋转180°，如果将模板按照线性存储，简单的做饭就是将数组倒置，最后变最前。对于图像边缘的像素，卷积无法覆盖的地方采用外围补0的方法。
截个图，来解释下上面的话，或者看前面关于卷积的理解的博客：
需要注意一下几点：
- 卷积或相关时关于位移的函数
- 滤波模板w与只有一个1其他都是0的函数相关，得到一个旋转180°的拷贝，这个函数叫离散单位冲激。
- 如果模板关于原点对称，那么相关和卷积结果相同
- 滤波时使用卷积，相关可以用于模板匹配
- 卷积是线性系统计算的基础
接下来就是卷积模板的定义了，之前在频域中说过，一种线性模板可以是频域设计的然后ifft到空域，生成小模板，还有就是直接在空域设计，模板系数决定模板的用途，对于线性模板，唯一能做的是相乘后求和，所以计算方式规定了以后就只能有系数是可以设计的了。例如使用一个二维高斯函数生成模板。
空域中定义一个滤波器以后，一般下需要到频域观察下其是否有其他频率影响，例如对于一个平滑滤波器，我们应该观察下其频域特性，是否在高频部分有旁瓣。不过对于一个离散模板来说，只要有截断，就会产生旁瓣。
空域滤波与频域比较
这里我们只比较算法的时间复杂度，因为之前我曾说过一道面试题，为什么使用空间滤波模板，而不是用频域滤波。下图给出频域计算过程和算法计算量：
最后得出的计算量是除去赋值操作，结果： $(4+8log2N)N^2$
而空间卷积（相关）如果不加优化，使用最普通的算法，时间复杂度是 $N^2M^2$ （其中M是窗宽），所以当 $M^2<(4+8log2N)$ 时，频域滤波速度没有优势，更主要的一点是扩展图像以后引入的高频干扰，观察下图
填充后的图像边缘将引入高频分量，使频域滤波后的一周有高频干扰，如图：
原图：
上面是一副512x512的纯白图片
采用高斯高通处理后：
周围的泛白就是高频成分被遗留的结果。
特别的，如果空预处理高通时，改变周围的填充策略（例如复制边缘）将不会有这种效果。
总结
总结，空域处理将占据处理的大部分，而频域更适合做分析，就像matlab一般用作模拟和实验算法，真正的工程中一般要用c，c++这些工具，所以，各有各的用途，分析和工程，都是重要的应用