Abstract: 数字图像处理：第24天
Keywords: 频域滤波，高斯滤波器，布特沃斯滤波器
开篇废话
依然是废话开始，滤波器的起源就是频域来的，针对频域特性，滤波器被设计成各种各样的功能，但是频域滤波器都是线性的，转换到空域生成的卷积模板也是线性的，而有些从空域出发设计的滤波模板并不是线性的，判断是不是线性可以使用以下判断方法，也是信号与系统中常用的方法，$F(ax+by)=aF(x)+bF(y)$ 如果满足就是线性的，不满足则不是。常见的滤波模板中涉及到排序的，都不是线性模板，而通过频域设计然后转换为空域模板的，都是线性的模板。
由于滤波原理上一篇中已经做了详细的介绍，本篇主要记录几种常见的滤波器，并分析其滤波特点。主要介绍内容如下： 
由于同态滤波的特殊性，将在下一篇中介绍，对于每种滤波器，都会分析其功率和振铃现象。
现在给出一个常用的距离函数，将在所有下面所有滤波器中使用，使用欧氏距离，因为频率域的距离代表的是带宽，所以，截止频率，带宽意义重大 $(P,Q)$ 为频谱大小，也是上篇中填充后的空域图像大小，并且我们使用的频谱都是中心化了的：
测试图片为：
平滑-低通滤波器
低通滤波器，顾名思义，只通过低频信号截断高频成分，在频谱中，中间部分为低频，四周为高频，截断点由滤波器的宽度决定，也就是截止频率，不同的截止频率对应于不同的效果和不同的剩余功率。
ILPF
理想低通滤波器，就是简单的截断，或者说设置一个频率阈值，大于阈值的频谱置零，小于等于阈值的不变：
这个效果就是频域的一个圆形，我们来观察，频域截止频率为50，P，Q为512的ILPF：
下面来观察滤波器在截止频率为10，20，30的振铃和频率特性：
截止频率10，滤波后剩余功率50.196378%，有振铃： 
截止频率20，滤波后剩余功率78.559714%，有振： 
截止频率30，滤波后剩余功率88.736089%，有振： 
BLPF
布特沃斯低通滤波器，采用布特沃斯公式，产生一种低阶时转折平滑，高阶时转折尖锐的滤波器：
示意图如下：
下面观察2阶和10阶布特沃斯滤波器在截止频率10，20，30时的表现：
2阶：
截止频率10，滤波后剩余功率40.044113%，无振铃：
截止频率20，滤波后剩余功率59.692304%，无振铃：
截止频率30，滤波后剩余功率70.964773%，无振铃：
10阶：
截止频率10，滤波后剩余功率46.72560%，有振铃：
截止频率20，滤波后剩余功率74.527332%，有振铃：
截止频率30，滤波后剩余功率86.566573%，有振铃：
GLPF
由高斯公式产生的滤波器，由于高斯的傅里叶变换还是高斯的，所以变换无振铃效应：
滤波器示意图：
观察高斯滤波器在截止频率10，20，30时的表现：
截止频率10，滤波后剩余功率45036072%，无振铃：
截止频率20，滤波后剩余功率66.908677%，无振铃：
截止频率30，滤波后剩余功率77.419008%，无振铃：
锐化-高通滤波器
与低频对应的就是高频滤波器，同样我们介绍理想高通，布特沃斯高通，高斯高通，并提出钝化高提升高频强调滤波器；
IHPF
理想高通的滤波器示意图：
同样观察截止频率为10，20，30的滤波效果和振铃效应：
截止频率10，滤波后剩余功率51.407872%，有振铃：
截止频率20，滤波后剩余功率23.044536%，有振铃：
截止频率30，滤波后剩余功率12.868162%，有振铃：
BHPF
与低通布特沃斯相似，高通布特沃斯滤波器也是 一种低阶时转折平滑，高阶时转折尖锐的滤波器
我们同样观察2阶和10阶的布特沃斯在截止频率为10，20，30时的效果和振铃现象：
2阶：
截止频率10，滤波后剩余功率34.679332%，无振铃：
截止频率20，滤波后剩余功率18.029713%，无振铃：
截止频率30，滤波后剩余功率11.967571%，无振铃：
10阶：
截止频率10，滤波后剩余功率46.760049%，有振铃：
截止频率20，滤波后剩余功率20.167635%，有振铃：
截止频率30，滤波后剩余功率12.362897%，有振铃：
GHPF
与低通一致，高斯高通滤波器为：
示意图：
观察截止频率为10，20，30的滤波效果和振铃效应：
截止频率10，滤波后剩余功率34.706478%，无振铃：
截止频率20，滤波后剩余功率16.325098%，无振铃：
截止频率30，滤波后剩余功率11.140692%，无振铃：
部分代码
低通：1
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static double Distance(int x,int y,int c_x,int c_y){
return sqrt((x-c_x)*(x-c_x)+(y-c_y)*(y-c_y));
}
void IdealLPFilter(double *Filter,int width,int height,double cut_off_frequency){
int center_x=width/2;
int center_y=height/2;
double distance=0.0;
for(int i=0;i<width;i++)
for(int j=0;j<height;j++){
distance=Distance(i,j,center_x,center_y);
if(distance<=cut_off_frequency)
Filter[j*width+i]=1.0;
else
Filter[j*width+i]=0.0;
}
}
void ButterworthLPfilter(double *Filter,int width,int height,double cut_off_frequency,int n){
int center_x=width/2;
int center_y=height/2;
for(int i=0;i<width;i++)
for(int j=0;j<height;j++){
double value=1.0;
for(int k=0;k<n;k++)
value*=(Distance(i, j, center_x, center_y)/cut_off_frequency);
Filter[j*width+i]=1/(1+value);
}
}
void GaussianLPFilter(double *Filter,int width,int height,double cut_off_frequency){
int center_x=width/2;
int center_y=height/2;
for(int i=0;i<width;i++)
for(int j=0;j<height;j++){
double value=Distance(i, j, center_x, center_y);
Filter[j*width+i]=exp(-value*value/(2*cut_off_frequency*cut_off_frequency));
}
}
高通：1
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static double Distance(int x,int y,int c_x,int c_y){
return sqrt((x-c_x)*(x-c_x)+(y-c_y)*(y-c_y));
}
void IdealHPFilter(double *Filter,int width,int height,double cut_off_frequency){
int center_x=width/2;
int center_y=height/2;
double distance=0.0;
for(int i=0;i<width;i++)
for(int j=0;j<height;j++){
distance=Distance(i,j,center_x,center_y);
if(distance<=cut_off_frequency)
Filter[j*width+i]=0.0;
else
Filter[j*width+i]=1.0;
}
Filter[width*(height+1)/2]+=1.0;
}
void ButterworthHPfilter(double *Filter,int width,int height,double cut_off_frequency,int n){
int center_x=width/2;
int center_y=height/2;
for(int i=0;i<width;i++)
for(int j=0;j<height;j++){
double value=1.0;
for(int k=0;k<n;k++)
value*=(Distance(i, j, center_x, center_y)/cut_off_frequency);
Filter[j*width+i]=1.0-1.0/(1.0+value);
}
Filter[width*(height+1)/2]+=1.0;
}
void GaussianHPFilter(double *Filter,int width,int height,double cut_off_frequency){
int center_x=width/2;
int center_y=height/2;
for(int i=0;i<width;i++)
for(int j=0;j<height;j++){
double value=Distance(i, j, center_x, center_y);
Filter[j*width+i]=1.0-exp(-value*value/(2*cut_off_frequency*cut_off_frequency));
}
Filter[width*(height+1)/2]+=1.0;
}
钝化，高提升，高频强调
将高通滤波后的结果与原图进行一些加减，将得到钝化，高提升高频强调滤波器
对于下面公式k1控制距离原点的偏移量，k2控制高频贡献。
- k1=1时k2=1为钝化模板
- k1=1时k2>1为高提升滤波器
- k1=1时，统称高频强调滤波器
具体性质据定于所选用的滤波模板，与上面叙述的模板性质和截止频率有关，在这里不详细叙述。
代码：1
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static double Distance(int x,int y,int c_x,int c_y){
return sqrt((x-c_x)*(x-c_x)+(y-c_y)*(y-c_y));
}
void HomorphicFilter(double *filter,int width,int height,double cut_off_frequency,double lambda_l,double lambda_h,double c){
int center_x=width/2;
int center_y=height/2;
double distance;
double distance_2;
double cut_off_frequency_2=cut_off_frequency*cut_off_frequency;
for(int i=0;i<height;i++)
for(int j=0;j<width;j++){
distance=Distance(j, i, center_x, center_y);
distance_2=distance*distance;
filter[i*width+j]=(lambda_h-lambda_l)*(1.0-exp(-c*distance_2/cut_off_frequency_2))+lambda_l;
}
}
总结
总结一下，这篇的理论在前面已经介绍了，所以更多是验证前面的结论，观察滤波效果。滤波中值得注意的是振铃现象，对于不能容忍人工缺陷的应用中，如医学图像处理，不能使用带有振铃现象的滤波器，在实际物理中，理想滤波器无法实现，所以更多的使用高斯和其他一些无振铃的滤波器