Abstract: 本文介绍《推测术》前三部分，主要是古典概率的系统化和深化
Keywords: 推测术，猜度术，排列，古典概率，全概率公式
《推测术》前三部分内容提要
本文我们主要介绍伯努利，我们这里要说一下我们主要介绍的伯努利全名叫：雅各布·伯努利，说一下全名是因为他们家族很多人都是数学家，陈老师书中说至少有12人，其中5位在概率论方面有贡献，雅各布的弟弟约翰，和侄儿尼古拉斯都是概率论的贡献者。
雅各布的父亲本来想让他当一个神职人员，但是他爱好的是数学，似乎尼古拉特斯拉也有相同的经历，都是放着神父不去做，而是转向科学，雅各布还对微积分，微分方程，和变分法有贡献，变分法包含著名的悬链线问题。
雅各布时代的著名科学家数学家还有牛顿和莱布尼兹，雅各布和莱布尼兹保持有书信来往。对于微积分的发展，有人认为雅各布可以作为除牛顿莱布尼兹以外的第一任。
雅各布和惠更斯保持通信联系，并研究过其著作《机遇的规律》，并以此启发了自己对概率论的兴趣。
从他的和莱布尼兹通信中得出，他写《推测术》（也译作《猜度术》）是在声明的最后两年，1705年雅各布离世，此书尚未定稿，然而由于家族内问题，其遗孀不放心把书稿交给其弟约翰，后来在莱布尼兹的催促下，才将书稿教给侄儿尼古拉斯，当时还没有期刊会议，学者之间的通讯就是相当于学术交流。
《推测术》全书239页，分四部分：
第一部分：对《机遇的规律》一书作了仔细的注解，总量相当于袁术的四倍。
第二部分：对排列组合进行了系统的论述。
第三部分：使用前面的知识，讨论了一些用骰子赌博问题
第四部分：是关于概率论在社会到的和经济领域的应用，其中包含本书精华，在概率史上不朽的地位，以其名字命名的大数定律——伯努利大数定律！
“大数定律”在本书中没有得到命名，而是 1837年 泊松的一篇著作中提到了“大数定律”这个名词。
第四部分是使得本书名垂概率史的重要原因。本书最后一部分长达35页记录了与友人讨论网球比赛中的计分问题。
《推测术》前三部分，是古典概率的系统化和深化，比前面概率论的进步在于脱离了赌博等具体问题，而是着重与计算的一般规律和数学证明。完全和现代教材一致，并且其中意识到一些关键条件，比如，在重复扔骰子的描述中，书中表示，每次扔骰子获得点数的概率是不变的，这在以前被默认而无人特别说明，而伯努利指出了这一点，所以复合这种条件的模型被称为伯努利模型。他指明了独立概率下的乘法定理的表达方式，并在此基础上严格的证明了二项概率公式。
伯努利还开创了用无穷级数求和去计算概率的方法，那时候无穷级数尚属新的领域，其在本领域也有贡献。
书中第二部分，引进了排列的概念，证明了 $n$ 个相异的物件不同的排列数 $n!$ ，他也证明了 $n$ 个不全相异的物件的排列公式，组合方面，他也救了组合系数的性质，可以重复的组合数，超几何分布，特别是正整数幂次和的表达式
$$
\sum^{n}_{i=1}i^{m}=\frac{n^{m+1}}{m+1}+\frac{n^m}{2}+\sum^{\frac{m}{2}}_{i=1}\frac{1}{2i}B_{2i}C^{m}_{2i-1}n^{m-2i+1}
$$
其中 $B_{2i}$ 叫做伯努利常数，最初几个值是：
$$
B_2=\frac{1}{6},B_4=-\frac{1}{30},B_6=\frac{1}{42},B_6=-\frac{1}{30}
$$
得出一般值由下式归纳地定出：
$$
\frac{1}{2}=\frac{1}{2k+1}+\sum^{k}_{i=1}\frac{1}{2i}B_{2i}C^{2k}_{2i-1},k=1,2,\dots
$$
在伯努利之前也有人研究组合系数，包括莱布尼兹。《推测术》称为排列组合的教科书，对组合学也是一个重要的事件。
第三部分伯努利用前两部分的知识去研究帕斯卡，费马和惠更斯等人提出的赌博问题，共讨论了24个当时比较流行的赌博问题，今天看不算难，但是用了当时用了排列组合，加法，乘法定理，全概率公式，递推公式。这些都是现在我们依然在用的工具。
最后，伯努利在附录中给出了一些网球中取胜的概率问题，有些非常有难度，我们下面举一个简单的例子：
A,B 两个人打网球，每局A胜的概率为 $p$ 对应的 B 获胜的概率 $q$ ，并且满足 $p>0,q>0,p+q=1$ 规定：当一方领先不少于2局，且领先一方至少胜4局时，该方取胜，求A取胜的概率。
证明方法如下：
以 $h(i,j)$ 记在A已经胜 i局，B已胜 j 局的情况下，若B 胜，情况变为 $(i,j+1)$ 故全概率公式，有：
$$
h(i,j)=ph(i+1,j)+qh(i,j+1)\\
\text{set: }r=\frac{p}{q}=\frac{p}{1-p}
$$
通过带入数字，得到
$$
h(3,3)=p^2h(5,3)+2pqh(4,4)+q^2h(3,5)\\
=p^2+2pqh(3,3)
$$
于是就能得到
$$
h(3,3)=\frac{p^2}{p^2+q^2}=\frac{r^2}{r^2+1}
$$
然后我们再来看 $h(2,3)$ 就能得到
$$
h(2,3)=ph(3,3)+qh(2,4)=\frac{pr^2}{r^2+1}
$$
然后依次，计算 $h(3,2),h(2,2),h(3,1),h(1,3),\dots$
最后能得出结论：
$$
\frac{r^7+5r^6+11r^5+15r^4}{r^7+5r^6+11r^5+15r^4+15r^3+11r^2+5r+1}
$$
唯一需要解释的就是全概率公式那个部分 $h(i,j)=ph(i+1,j)+qh(i,j+1)$ 这个和我们常见的 $p(A)=\sum_{\text{All } i}p(A|B_i)p(B_i)$ 不太一样，我们这里的 $h$ 是最终A获胜的概率，而不是现在这场比赛就结束比赛，而是当前比赛不能分出胜负，而需要继续下去，此时，A可能获胜的概率是 $h(i,j)$ ，当比赛继续进行，这就和分赌本的问题有些类似，当比赛继续进行，有两种情况可能发生，一种是当A获得本轮胜利，那么A在赢得本轮后最终获胜的概率是 $h(i+1,j)$ 同理，相对的，如果B获得本轮胜利，那么A最终胜利的概率是 $h(i,j+1)$ ，那么由于结果不变，都是A获胜，那么本轮进行前后A获胜的概率应该是满足全概率关系的，也就是 $h(i,j)=ph(i+1,j)+qh(i,j+1)$
这个可能不太好理解，因为我们研究概率的时候，都是从前往后推到的居多，这种从后往前的递推关系见得不多，所以需要注意。
总结
本文介绍了《推测术》的前三章，伯努利作为祖师爷级别的任务，值得尊重，其理论值得深入研究。
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