Abstract: 本文介绍帕斯卡和费马当时的通信中解决的一些概率问题，这些信件奠定了概率论的基础。
Keywords: 期望，分赌本问题，乘法定理，加法定理，全概率公式

帕斯卡和费马的通信

费马就是费马大定理在大家学习数学的过程中应该比较容易接触到，在近年被证明，费马主要在数论方面的研究名声较大，其在概率中的恭喜有些偶然——他在 1654年7~10月 和帕斯卡有7封书信来往，其中3封是帕斯卡写给费马的。
这7封信都在讨论赌博问题，他们也是用计算等可能的有利与不利情况数，然后作为“机遇数”——概率的计算方法，当然那时候还没有确定概率这一名称，但是他们的方法的惊喜和复杂度，大大的前进了不少。
那时候他们已经使用了组合工具，递推公式，初等概率的一些基本规律也都用上了，他们还引入了一个叫做赌博值的概念，值等于赌注乘以胜利概率，这也就是概率论最重要的概念之一——数学期望的形成和命名过程，这个值并不是他们独创的，而是已经经过了一段时间的酝酿，。
这些信中讨论了分赌本问题，还有更复杂的输光问题：甲乙两个人各有赌本 $a$ 和 $b$ 元，每局输赢1元，要计算个人输光的概率。这个问题现在看起来都不是很好计算，所以这些信件中讨论的问题达到了非常高的水平。其在概率发展史上起到了重要作用。丹麦概率学者哈儿德认为这些通信奠定了概率论的基础。
这些信件的内容都是在讨论具体的问题，但是没有给出明确的陈述概率运算原则性的东西，比如他们使用了乘法，加法原理，但是没有将其作为一般原则凸现出来。
他们之间的的通信促成主要愿意可能是来自一个叫德梅尔的人，专业赌博家，他向帕斯卡请教了一些问题，但不知道为啥帕斯卡没有回答，而是写信给了费马，有些问题并不难，比如两个骰子扔24次，至少出现一对6点的机遇小于 $\frac{1}{2}$ 因为 $1-(\frac{35}{36})^{24}\approx 0.4914$ 另一方面看骰子只有 36 种等可能结果，而24占了一半以上，这似乎是矛盾的，很明显后面那个期望求法根本不对，这个我们现在学过点概率论的都能看出来。
他们的通信中分赌本用了非常有思想和技巧，我们下面来描述一下：
继承上文所说， $r_1$ 和 $r_2$ 为 A和B获胜要取得胜利的场数，帕斯卡发现，合理的分配应该和 $r_1,r_2$ 有关，因为赌博继续消去，胜负只与 $r_1,r_2$ 有关，记概率为 $e(r_1,r_2)$ ,那么就有下面的边界：
$$
e(0,r_2)=1,\text{ when } r_2>0\\
e(r_1,0)=0,\text{ when } r_1>0\\
e(a,a)=\frac{1}{2} \tag{1}
$$
并且递推公式：
$$
e(r_1,r_2)=\frac{[e(r_1-1,r_2)+e(r_1,r_2-1)]}{2}\tag{2}
$$
成立。
然后帕斯卡用了比较基础的方法，就是让赌博继续，那么接下来就会是 $e(2,1),e(1,2),e(3,1),e(1,3),e(3,2),e(2,3),\dots$ 他通过对这些数值进行观察，得到了通用解：
$$
e(r_1,r_2)=\sum^{r_2-1}_{i=0}C^{r_1+r_2-1}_{i}2^{-(r_1+r_2-1)}\tag{3}
$$

证明的方法就是(3)要先验证(1) 中的边界，然后用归纳法证明(3) 对于(2) 的正确性。

费马使用了不同的方法，费马列出了完备事件群，如果赌博结束，我们可以假设 $r_1<r_2$ 可能还需要 $r_1,r_1+1,\dots,r_1+r_2-1$ 次赌博。
如果A获胜了，而此时 B 已经获胜了 $i(i=1,\dots,r_2-1)$ 局，那么到A获胜结束，共需要 $r_1+i$ 局，那么如果从总数来看，$r_1+i$ 局中，前 $r_1+i-1$ 中，A获胜了 $r_1-1$ 局，然后第 $r_1+i$ 局 A获胜，比赛结束，那么这件事的概率就是：
$$
C^{r_1+i-1}_{r_1-1}2^{-(r_1+i-1)}\cdot 2^{-1}=C^{r_1+i+1}_{r_1-1}2^{-(r_1+i)}
$$
这个结果已经用到了二项式定理和概率乘法定理，对 $i=1,\dots,r_2-1$ 相加，得到

$$
e(r_1,r_2)=\sum^{r_2-1}_{i=0}C^{r_1-1+i}_{r_1-1}2^{-(r_1+i)}
$$

这里运用了加法定理

总结

这篇文章通过帕斯卡和费马的通信得出了概率论的相当多的基础，虽然当时没有总结成通用的定理，但是这两位高手已经在问题中使用了相关知识。
也许有人认为因为当时时间早，所以这些简单的问题被他们攻克了，所以他们青史留名，而我们现在可能比他们厉害，但是问题变得更难了。表面看起来是这样，但是忽略了时代背景，每一次进步都是从已知到未知的探索，受到时代背景和知识背景的局限，看似简单，却是非常困难，就像我们现在研究的困难的东西，百年后可能是幼儿园小朋友学的知识。