Abstract: Ax=b的完整解，以及一个解，infinity个解，没有解的所有条件和说明
Keywords: Ax=b,Special Solution,Full Column Rank,Full Row Rank,Complete Solution

方程组的完整解

$Ax=b$

之前我们已经研究了 $Ax=0$的相关内容，值得说一下的是，列空间和nullspace是有些区别的，列空间指的是b所在的空间，而nullspace是x所在的空间，这个要区别一下，这些所有空间都是针对矩阵的。

特解(Particular Solution)

搞不懂Particular Solution和Sceptical Solution有啥区别的可以仔细看看了，之前我也没发现其有什么根本不同，Particular Solution是把所有的free variables设置为0，来一个完整的例子

$$\begin{bmatrix} 1&3&0&2\\ 0&0&1&4\\ 1&3&1&6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\6\\7 \end{bmatrix}$$
Augmented Matrix:
$$\begin{bmatrix} 1&3&0&2&1\\ 0&0&1&4&6\\ 1&3&1&6&7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A&b \end{bmatrix}$$
经过消元，对原始矩阵方程消元和对Augment Matrix消元得到结果相同，这里就只写augment matrix：
$$\begin{bmatrix} 1&3&0&2&1\\ 0&0&1&4&6\\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R&d \end{bmatrix}$$
通过定位pivot可以确定free columns是第二列和第四列，如果我们把$x_2,x_4$设置为零，那么就得到了x为
$$\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\0\\6\\0 \end{bmatrix} =x_{particular}$$
可以通过回代验证$Rx=d$或者$Ax=b$这里的free variables都是0，那么就说这个解是particular的，而且可以发现pivot对应的x位置与d有关系，按顺序就是d对应的元素，这不是巧合，观察矩阵可以得到相应的结论。

这是我们到目前位置讨论的方程组的两种解，一个当b=0的时候，一个当b不等于0的时候，如果我们把这两个方程组左右相加，那么就得到

$$Ax_p=b\\ Ax_n=0\\ Ax_p+Ax_n=b+0\\ A(x_p+x_n)=b$$
那么完整的解(式子中的数字来自上面的例子，nullspace我没有写出来，大家可以自行验证)：

为什么完整解是上看的式子呢，可以看下一节的详细介绍。

完整解(The Complete Solution)

前面我们确定了完整的解就是$x_p+x_n$，那么我们到底有多少个解呢？

序号	m&r	n&r	Matrix Shape	Ax=b	Solution
1	r=m	r=n	Square and Invertible	Ax=b	1
2	r=m	r<n	Short and Wide	Ax=b	$\infty$
3	r<m	r=n	Tall and Thin	Ax=b	0 or 1
4	r<m	r<n	Not full rank	Ax=b	0 or $\infty$

这四种情况，简单讲解下：

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第一种：是方阵，我们最标准的方程组，rank与m,n相等，那么就一个解。这种情况下，消元后的R是单位矩阵：

$$R=\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}$$

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第二种：如果方程组的个数小于未知数的个数，而rank与行相同，rank=m<n,消元后的R是如下矩阵：

$$R=\begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix}$$

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第三种：如果方程组的个数大于未知数的个数，而rank与列数相同，rank=n<m,消元后的R是如下矩阵：

$$R=\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}$$
如果b与R下面全是0的行对应的行不是0，那么就没有解

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第四种：如果有效的方程组的个数小于未知数的个数，与情况二相似，但是有效方程数还小于远方程数，rank<m,rank<n,消元后的R是如下矩阵：

$$R=\begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix}$$
如果b与R下面全是0的行对应的行不是0，那么就没有解

自此，Ax=b 的所有解以及对应的情况都已经搞定了，但是为啥complete solution是$x_p+x_n$呢？这就是个悬案了，后面一定给出答案，现在就暂时记住就好了（回归课堂教育，先记住，就没有然后了）。

Conclusion

这篇也比较凌乱，不像写算法那种博客很流畅，解释，代码，总结这种套路在这不太实用，因为知识错综复杂，本文上面的四种解的情况才是重点，包括什么时候没有解，什么时候无数个解，如果按照表和矩阵R的形式来看，就会豁然开朗，后面继续。。。