Abstract: 本章介绍线性代数的核心内容，关于Vectors Space和subspace的一些观点，本文作为第一篇，主要说明基础知识
Keywords: 向量空间，子空间，列空间，张成
开篇废话
好几天没有更新博客了，前天本来想写，发现环境出现点问题，因为我本身对网站知识并不是很了解，hexo g的时候有个warning，我就开始修，结果很简单，直接修的全是error，好在都有备份，昨天就重新搞了一下，总体来说hexo对于使用来说还是比较简单的，所以一上午也就差不多搞定了，今天开始写线性代数最重要的一部分，也有点困难，所以我决定写的慢一点，啰嗦一点，必要的时候把前面的东西重新拿过来，数学很难，如果之前的知识掌握不住，后面的基本就是云里雾里，但是哪个学科不是这样呢？所以，融会贯通，回头来看，就会豁然开朗了
向量空间（Spaces of Vectors）
向量空间，我刚又看了一下Pro. Strang老爷子的书，很遗憾，没找到定义，可能是受封建教育搞得不来个黑体字定义，就不知道啥是啥了，通俗的解释下吧。
我们都认识向量
$$
v=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}
$$
他的一般形式呢，就是一个向量含有两个实数元素，这里写的1和2也可是250和520，只要是实数，这个向量都是在一个圈子里,这个圈子呢就是我们的小标题，向量空间，一个向量空间包含无数组向量，但是这些向量必须满足一定的规则，并且向量空间作为一个类，有自己的固有属性，我假定你对面向对象的编程有些了解，所以说出了类和对象之类的名词，不专业，但是能形象一点，方便大家理解。
$$
v=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\\
x_1,x_2 \in \Re
$$
可以看出，这个向量是个二维的向量，那么我们把这个向量空间写成：
$$
\Re^2
$$
怎么样，眼熟么？惊喜不惊喜，意外不意外？
我刚才说了，这是个特殊的例子，但是也说明了一定的规则，首先元素要满足一定范围，可以是实数，可以是复数，也可以不是数字，比如可以是函数，或者其他任何东西。
脑洞时间：那么我有一个问题，如果每个元素都是不一样的东西，这个能算向量空间么？比如
$$
u=v=\begin{bmatrix}book\\food\\number\end{bmatrix}\\
$$
在python里这些可以组成list，我们慢慢看看，这个”向量空间””是否满足所有条件！
$R^n$
$$
v=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\ \vdots\\x_n\end{bmatrix}\\
x_1,x_2, \dots ,x_n \in \Re
$$
所有元素属于实数，并且有n个元素，那么我们可以得到我们的向量空间
$$
\Re^n
$$
这个可以根据上一节的结论进行推演，把2换成了n，其中n是确定的常数
$C^n$
$$
v=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\ \vdots\\c_n\end{bmatrix}\\
c_1,c_2, \dots ,c_n \in C
$$
所有元素属于复数，并且有n个元素，那么我们可以得到我们的向量空间
$$
C^n
$$
这个可以根据上一节的结论进行推演，把实数换成了复数，其中n是确定的常数
M,F and Z
同理，元素可以属于任何其他域，比如可以使矩阵，函数，或者是0
M:The vector space of all real 2x2 matrices
F:The vector spcae of all real functions f(x)
Z:The vector space that consists only of a zero vector
这里面有个比较特殊的是F好吧，我承认都挺特殊，但是F是个无限维函数空间，
一个与F类似，但是维度有限的例子是多项式空间$P$或者$P_n$
$$
a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n
$$
Z向量空间值得说一下，我们平时可以把它写成
$$
\Re^0
$$
他的维度是0，维度说了半天发现好像前面没说过什么是维度，那后面补上。Z是最小的向量空间，所有空间必须包含0向量，但是每个空间的零向量都不相同，根据自己的特点来产生0向量的形状。
8 Conditions（八项基本原则）
来来来，现在该说正事了，刚才举了几个例子，都是从书上抄的，那么到底什么样的空间才能是空间呢？或者说我们脑洞问题怎么才能解答？首先向量空间可以不是数字组合出来，但是必须遵守八项基本原则(8 conditions)
八项要求：
1、要同党中央保持高度一致，不阳奉阴违、自行其是；
2、要遵守民主集中制，不独断专行、软弱放任；
3、要依法行使权力，不滥用职权、玩忽职守；
4、要廉洁奉公，不接受任何影响公正执行公务的利益；
5、要管好配偶、子女和身边工作人员，不允许他们利用本人的影响谋取私利；
6、要公道正派用人，不任人唯亲、营私舞弊；
7、要艰苦奋斗，不奢侈浪费、贪图享受；
8、要务实为民，不弄虚作假、与民争利。
这个是他们主流的八项原则，我们的是非主流的，哈哈
1: $x+y=y+x$
加法交换律
2: $x+(y+z)=(x+y)+z$
加法结合律
3: 存在一个0向量满足：$x+0=x$
加法0向量，加上任何向量都等于这个向量本身
4: 对于所有x存在$-x$满足$x+(-x)=0$
加法反向量（这个名字是我想的），就是能够找到一个向量，使得其与原始向量相加为0
5: 1乘以$x$要等于$x$
乘法1向量，乘以谁就得谁
6:$(c_1c_2)x=c_1(c_2x)$
乘法结合律
7:$c(x+y)=cx+cy$
乘法分配率，注意这个c是数，不是向量
8:$ (c_1+c_2)x=c_1x+c_2x$
乘法分配率，上面的分配的是scalar，这个分配的是向量，$c_1,c_2$是数字
那么判断是不是向量空间的任务就变的有依据了，我的脑洞显然不是，比如book里面就没有anti-book可以把书变没。
FMZP这几个家伙就都满足，不信你就自己试试，我试过，没问题！
Subspace(子空间)
子空间肯定对应有父空间什么的，实际上没有，因为sub前缀根本就没有继承的意思，而是说是个小一些的，包含少一些的，所以子空间对应于他的上一级空间，少了一些东西，准确的说是少了很多东西，这些东西就是向量，比如一个平面，那么平面上的一条线，他是平面的一部分，但是只是一小部分，就是这种关系，书上的描述是a vector space inside $\Re^n$ ,those are Subspace of $\Re^n$。
A subspace of a vector space is a set of vectors (include 0) that satisfies two requirement: if v and w are vectors in the subspace and c is any scalar ,then
(i) $v+w$is in the subspace
(ii) $ cv$is in the subspace
以上(i)(ii)是判断子空间的重要标准，这个也是我们之前提到的，线性代数最最最最最基础的最关键的两种计算。
Linear combination中详细的描述了这两种计算。子空间主要强调closed，在加法和乘法上封闭，你不能两个空间内的向量，加乘出了空间，飞翔到外太空，这样就不能称为子空间了，概括一下子空间就是包含在某个空间内，自身对于加法和scalar封闭的这么一个空间。
Some Facts：
1：当(ii)中c为0的时候0向量在空间内，也就是说子空间必须包括0向量
2：如果向量v,w在子空间内，那么其线性组合$cv+dw$一定也在子空间内
3：一个三维空间，过原点的直线是子空间
4：0向量是一个空间的子空间
子空间是个相当有用知识，在《线性代数应该这样学》中就是从空间这个切入点来建立整个线性代数体系的。书上主要通过二维和三维的例子来介绍子空间的，比较容易理解。
Column space of A（矩阵A的列空间）
A是个矩阵，有m行，n列，每行有n个元素，每列有m个元素，刚开始学数字图像处理的时候，总是分不清行和列，高和宽是啥。哈哈哈，还记得我们的矩阵乘法么？我们首先研究的是$Ax=b$里面的”Column Picture”就是列空间的一种体现，也就是把A中的每一列当做空间内的一个向量，通过(ii)的方式组合出的新向量 $\textbf{b}$一定也是在A的所有列所在的空间内，这就是列空间。
The column space consists of all linear combinations of the columns.The combination are all possible vectors $Ax$.They fill the column space C(A)
所以Ax=b如果关注x就是解方程组，如果关注b就是列向量空间，当然，这两个的主要决定因素还是A，如果b在A的列向量空间内，也就是某个$x_1$线性组合A的列，得到$b_1$，那么这个$Ax=b_1$的解存在（唯一不唯一不一定），而且$x_1$是一个解；这又引出了另一个大课题，$Ax=b$到底特么的有多少个解？！
the system $Ax=b$ is solvable if and only if b is in the column space of A
举一个🌰：:
例子就是上面那段话的正规描述。
Span(张成)
张成，tensor翻译成”张弛”，搞得数学名词都姓张，但是张成这个词还是比较形象的，想象一把伞，散的骨架有很多细的支撑骨架，一打开，张成一把伞，其实这个很形象；如果你有棍子和布，如果有一根棍子，你只能撑出一个直线（晾床单模型），如果两个棍子不摆在一条直线，你可以撑起一个面，如果你有三根棍子（两两不在一条直线），就可以撑出一个四面体，一个三维图形，棍子就张成了对应的空间。这个有点牵强附会，但是可以简单的类比一下，向量也是，两个不在同一条直线上的向量，就能通过线性组合，组合出他们张成平面上的所有向量，对于更高维同理。对于矩阵A的n列，他们可以张成n维空间，或者小于n维的空间，当m(行数)>n(列数)那么就是 $\Re^m$的n维（或者小于n维）子空间。
描述的有点啰嗦，如果能听懂最好，听不懂就可以去看看书了。
S = Set of vectors in V($v_1,v_2,v_3,\dots$,v_n)
$$
SS=c_1v_1+c_2v_2+\dots+c_nv_n
$$
其中 $\textbf{c}$ 可以使任何实数，我们就说SS是S张成的，并且SS是S所在空间的一个子空间。
张成对应基的概念在下一课。
Definition: A set of vectors spans a space if their linear combinations fill the Space
Conclusion
这篇有点长啊，写了三天，当然是断断续续的，如果阅读不连贯也是正常的，这个是线性代数的核心内容，希望对大家有帮助。