# 矩阵的逆

## 逆

### $A^{-1}$

$$I=AA^{-1}$$

$$I=A^{-1}A$$

### Notes

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Note1:
The Inverse exist if and only if elimination produces n pivots(row exchanges are allowed)

Note2:
The matrix A cannot have two different inverse.

Suppose $BA=I$ , $AC=I$ Then $B=C$ :
$$B(AC)=(BA)C$$
Gives
$$BI=IC$$
or
$$B=C$$

Note3:
if A is invertible, the one and only solution to $Ax=b$ is $x=A^{-1}b$

$$Ax=b$$
Then:
$$x=A^{-1}Ax=A^{-1}b\\ x=A^{-1}b$$

Note4:
This is important,Suppose there is nonzero vector $\textbf{x}$ such that $Ax=0$ then Acannot have an inverse . No matrix can bring $\textbf{0}$ back to $\textbf{x}$

$$Ax=0\ A^{-1}Ax=A^{-1}0\ x=A^{-1}0$$

Note5:
A 2×2 matrix is invertible if and only if $ad-bc$ is not zero:
$$\begin{bmatrix} a&b\newline c&d\end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\newline{-c}&a\end{bmatrix}$$

Note6:
A diagonal matrix has an inverse provided no diagonal entries are zero:

$$A=\begin{bmatrix}d_1&\,&\, \\,& \ddots &\,\\,&\,& d_n\end{bmatrix}$$
then
$$A^{-1}=\begin{bmatrix}1/d_1&\,&\,\\,& \ddots &\,\\,&\,& 1/d_n\end{bmatrix}$$

## $(AB)^{-1}$ and $(AB\dots Z)^{-1}$

$$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$

$$(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$$
$$(AB\dots Z)^{-1}=Z^{-1} \dots B^{-1}A^{-1}$$

$$(AB)^{-1}(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}(I)B=B^{-1}B=I$$

## 高斯乔丹消元(GAUSS-JORDAN Elimination)

$$A^{-1}\begin{bmatrix}A&&I\end{bmatrix}\ =\begin{bmatrix}A^{-1}A&&A^{-1}I\end{bmatrix}\ =\begin{bmatrix}I&&A^{-1}\end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix}A&&I\end{bmatrix}\ A=LR\$$

$$R=L^{-1}A\dots (1)\ L^{-1}\begin{bmatrix}A&&I\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}R&&L^{-1}I\end{bmatrix}$$
(1)的主要过程就是通过消元，使得增广矩阵中的A矩阵变成一个上三角矩阵R，对角线一下都是零
$$R=UD \dots(2)\ D=U^{-1}R\ U^{-1}\begin{bmatrix}R&&L^{-1}I\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}D&&U^{-1}L^{-1}I\end{bmatrix}$$
(2)回代过程，D只有对角线上有元素，其他全部是零
$$I=D^{-1}D\dots(3)\ \begin{bmatrix}D&&L^{-1}IU^{-1}\end{bmatrix}D^{-1}=\begin{bmatrix}I&&D^{-1}U^{-1}L^{-1}I\end{bmatrix}$$
(3)对角线归一化，使得A对角线上的元素变成1

$$A=LUD$$

$$A^{-1}=D^{-1}U^{-1}L^{-1}$$

### 逆矩阵的性质(Properties)

1：一个矩阵如果是对称的，并且有逆，那么逆也是对称的。
2：三角矩阵的逆如果存在可能是一个稠密矩阵

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