Abstract: 数字图像处理：第34天
Keywords: Sobel算子,Robert算子,
本文最初发表于csdn，于2018年2月17日迁移至此
开篇废话
继续废话，之前介绍了二阶微分，和非锐化掩蔽，按照顺序该说一阶微分了，一阶微分与二阶微分一样，是线性算子，线性算子的计算方法多半是生成模板，然后与图像卷积，一阶微分同样，几天简单的介绍两个一阶微分算子，Robert算子和Sobel算子，这两个算子应该算是大名鼎鼎了，因为这两个算子在后面的边缘检测中都是里程碑似的算法，在增强部分，他们也主要用在边缘增强，本文只简要介绍下两个算子的大概使用和增强效果，具体的数学原理推导和其他性质，将在图像分割部分完整介绍。
图像梯度介绍
首先介绍下梯度，梯度并非是一个数值，梯度严格意义上是一个向量，这个向量指向当前位置变化最快的方向，可以这么理解，当你站在一个山上，你有360°的方向可以选择，哪个方向下降速度最快（最陡峭），便是梯度方向，梯度的长度，表示为向量的长度，表示最大的变化速率。
梯度的数学表达：
其中
表示微分算子。梯度在三维坐标中表示为：
同样在二维中只取前两项，也就是由x方向的偏微分和y方向的偏微分组成。对于图像f中点(x,y)处的梯度，定义为：
与上面所述保持一致，图像梯度方向给出图像变化最快方向，当前点的梯度长度为：
次长度计算中有平方和开平方，所以将不再是现行操作。
为了简单计算，将上面求距离简化成：
然而上面式子最大的问题在于不具有旋转不变形，也就是不是各向同性的，具体原因是三角形三遍关系原理，因为梯度方向和长度对于旋转是不变的，所以，x轴和y轴发生旋转的时候，直角三角形两边发生变化，但保持斜边长度和方向不变，因此两个直角边的长度和必然发生改变，也就是上面的M值必然会改变，顾其不具有旋转不变形。
为了表达方便先重新来定义下模板位置，如下图
其中z5表示模板中心。
Robert算子
奇葩算子Robert，说它奇葩确实奇葩，因为不知道Robert哪来的勇气或者推导过程，使用一个2x2的模板，而且是对角线做差，其差分为：
因为向量无法在图像中显示，我们要计算梯度向量的长度：
简化为绝对值方法：
这个就是Robert交叉算子。模板：
Sobel算子
因为Robert算子是2x2的模板，不是对称的奇数模板，我们更喜欢3x3的模板，所以，要根据上面的Robert算子改造出来一个3x3模板，提出了下面这个计算方法：
怎么来的？说实话我一开始也不知道，只是说根据上面Robert算子，搞出来一个等价的，其数字模板为：
并且其下降速率（梯度的长度）计算公式：
所有上面的疑惑就是这个公式：
到底是怎么来的，为什么中间会有2，以及为什么是隔行相减，下面的过程是我自己发明的，没有数学依据，只是自己的猜测，根据Robert算子的两个式子，横向划过3x3的所有位置，然后相加，就得到了Sobel算子：
这个过程就用Robert产生了Sobel，同样的纵向移动就会产生x轴方向的算子。Sobel算子原理的论文不多，但都说这是个很好的边缘检测算子。
代码
Robert：1
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void Robert(double *src,double *dst,int width,int height){
double RobertMask_x[9]={0,0,0,0,-1,0,0,0,1};
double RobertMask_y[9]={0,0,0,0,0,-1,0,1,0};
double *dst_x=(double *)malloc(sizeof(double)*width*height);
double *dst_y=(double *)malloc(sizeof(double)*width*height);
RealConvolution(src, dst_x, RobertMask_x, width, height, ROBERT_MASK_SIZE,ROBERT_MASK_SIZE);
RealConvolution(src, dst_y, RobertMask_y, width, height, ROBERT_MASK_SIZE,ROBERT_MASK_SIZE);
for(int j=0;j<height;j++)
for(int i=0;i<width;i++){
dst[j*width+i]=abs(dst_x[j*width+i])+abs(dst_y[j*width+i]);
}
free(dst_x);
free(dst_y);
}
void RobertSharpen(double *src,double *dst,int width,int height,double c){
Robert(src,dst,width,height);
for(int j=0;j<height;j++)
for(int i=0;i<width;i++){
dst[j*width+i]=src[j*width+i]+c*dst[j*width+i];
}
}
Sobel：1
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26void Sobel(double *src,double *dst,int width,int height){
double SobelMask_x[9]={-1,-2,-1,0,0,0,1,2,1};
double SobelMask_y[9]={-1,0,1,-2,0,2,-1,0,1};
double *dst_x=(double *)malloc(sizeof(double)*width*height);
double *dst_y=(double *)malloc(sizeof(double)*width*height);
RealRelevant(src, dst_x, SobelMask_x, width, height, SOBEL_MASK_SIZE,SOBEL_MASK_SIZE);
RealRelevant(src, dst_y, SobelMask_y, width, height, SOBEL_MASK_SIZE,SOBEL_MASK_SIZE);
for(int j=0;j<height;j++)
for(int i=0;i<width;i++){
dst[j*width+i]=abs(dst_x[j*width+i])+abs(dst_y[j*width+i]);
}
free(dst_x);
free(dst_y);
}
void SobelSharpen(double *src,double *dst,int width,int height,double c){
Sobel(src,dst,width,height);
for(int j=0;j<height;j++)
for(int i=0;i<width;i++){
dst[j*width+i]=src[j*width+i]+c*dst[j*width+i];
}
}
结果
原图：
Robert：
Robert Sharpen：
Sobel：
Sobel Sharpen：
可以观察出Sobel边缘较宽，来观察简单图形的Robert和Sobel局部放大图：
Robert：
Sobel：
Robert局部放大1，2，3：
Sobel局部放大图1，2，3：
总结
Sobel和Robert都能对边缘有较强的响应，而且Sobel对边缘的响应较宽而且更加强烈，Robert算子对边缘响应较弱，而且对弯曲的边缘敏感度第（Robert1中圆形弧形部分亮度低）。
待续。。。。