Abstract: 数字图像处理：第28天
Keywords: 平滑，均值滤波，高斯平滑
本文最初发表于csdn，于2018年2月17日迁移至此
开篇废话
今天的废话是，我早上来了开始写博客，写了大概和下文差不多的内容，写了很多，就在发表以后，我震惊了，博客是空的，没有内容，我就表示呵呵了，不知道是网速的问题还是CSDN的问题，总之，我就不说啥了。
今天的内容是是平滑，先介绍均值和高斯平滑，高斯平滑是均值平滑的一个扩展，或者是一个进化版本。均值的原理是，一个规定的邻域内，所有像素的平局值作为最终计算的结果，每个像素的权值相同，为总像素的倒数，而高斯平滑是上述的升级版本，邻域内每个像素的权值不同，而权值是由高斯函数确定的。
均值平滑和高斯平滑都是线性的，也就是，一旦参数给定，模板就确定下来，不会因为位置和像素分布不同而改变，而线性模板的基本运算是卷积。
线性模板的另一个性质就是可以进行频域分析，比如高斯平滑的频域仍然是高斯的，而且是低通的，这与前面讲到的平滑是消除尖锐的噪声（高频）的操作相互证明了其正确性，均值平滑是一个盒状滤波器，其频域为sinc函数，也是一个近似的低通，但sinc函数有旁瓣，所以，模板宽度选择不好可能会有一些不好的效果，比如有些高频会被保留，这一点也比较好理解。
比较下两种均值（加权和不加权）。比如一维的一个序列 ${0，0，0，0，0，1000，0，0，0，0}$ ，明显1000是个边缘，如果使用3个宽度的均值平滑，结果是 ${0，0，0，0，333，333，333，0，0，0}$ ，边缘被完全模糊掉了。但如果使用 ${1，2，1}$ 的近似高斯平滑模板，结果是 ${0，0，0，0，250，500，250，0，0，0}$ ，边缘被保留。所以，加权平均（高斯）可以保留一定的细节。
对于设计的线型滤波器，其效果可以先是由傅里叶变换，到频域进行观察，便可大致推测出其效果，测试图片（灰度输入）：
均值滤波
数学
基本数学原理公式，以3x3为例：
得到滤波模板：
应用于图像的计算公式：
上式中的w(s,t)恒等于1。
效果
观察下用3x3，5x5和7x7的均值模板与图像卷积的结果：
3x3模板：
5x5模板：
7x7模板：
可以得出结论，均值滤波的模板越大，图像越模糊。
代码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
| void MeanMask(double *mask,int width,int height){
double w=width;
double h=height;
double meanvalue=1.0/(w*h);
for(int i=0;i<width*height;i++)
mask[i]=meanvalue;
}
void MeanFilter(IplImage *src,IplImage *dst,int width,int height){
double * pixarry=(double *)malloc(sizeof(double)*src->width*src->height);
double * dstarry=(double *)malloc(sizeof(double)*src->width*src->height);
double * mask=(double *)malloc(sizeof(double)*width*height);
for(int j=0;j<src->height;j++){
for(int i=0;i<src->width;i++){
pixarry[j*src->width+i]=cvGetReal2D(src, j, i);
}
}
MeanMask(mask, width, height);
RealRelevant(pixarry,dstarry,mask,src->width,src->height,width,height);
for(int j=0;j<src->height;j++){
for(int i=0;i<src->width;i++){
cvSetReal2D( dst,j,i,dstarry[j*src->width+i]);
}
}
free(pixarry);
free(dstarry);
free(mask);
}
|
这个代码并不是最快速的，只是为了和高斯平滑相互保持一致。所以，如果要使用，需要先优化。
高斯滤波
高斯平滑，就是一种加权的均值，权值由高斯函数确定。
数学
高斯函数：
在三维中的形状如下：
生成上图的matlab代码：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
|
X = 0 : 1 : 100;
Y = 0 : 1: 100;
d= 49;
Z = zeros(101, 101);
for row = 1 : 1 : 101
for col = 1 : 1 : 101
Z(row, col) = (X(row) - 50) .* (X(row)-50) + (Y(col) - 50) .* (Y(col) - 50);
end
end
Z = -Z/(2*d);
Z = exp(Z) / (sqrt(2*pi) * sqrt(d));
surf(X, Y, Z);
|
当坐标（u，v）远离原点时，函数值越小。这与概率的知识相符，越远离中心（原点）的像素灰度值，对中心像素灰度值的相关性越小，所以被赋予的权值越小。
效果
观察效果，使用不同标准差，和模板大小的结果：
结论：
- 同等模板大小，标准差越大越模糊
- 标准差相同，模板越大图像越模糊。
代码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
| void GaussianMask(double *mask,int width,int height,double deta){
double deta_2=deta*deta;
int center_x=width/2;
int center_y=height/2;
double param=1.0/(2*M_PI*deta_2);
for(int i=0;i<height;i++)
for(int j=0;j<width;j++){
double distance=Distance(j, i, center_x, center_y);
mask[i*width+j]=param*exp(-(distance*distance)/(2*deta_2));
}
double sum=0.0;
for(int i=0;i<width*height;i++)
sum+=mask[i];
for(int i=0;i<width*height;i++)
mask[i]/=sum;
}
void GaussianFilter(IplImage *src,IplImage *dst,int width,int height,double deta){
double * pixarry=(double *)malloc(sizeof(double)*src->width*src->height);
double * dstarry=(double *)malloc(sizeof(double)*src->width*src->height);
double * mask=(double *)malloc(sizeof(double)*width*height);
for(int j=0;j<src->height;j++){
for(int i=0;i<src->width;i++){
pixarry[j*src->width+i]=cvGetReal2D(src, j, i);
}
}
GaussianMask(mask, width, height, deta);
RealRelevant(pixarry,dstarry,mask,src->width,src->height,width,height);
for(int j=0;j<src->height;j++){
for(int i=0;i<src->width;i++){
cvSetReal2D( dst,j,i,dstarry[j*src->width+i]);
}
}
free(pixarry);
free(dstarry);
free(mask);
}
|
总结
之前写了很多结论，现在都忘完了，因为理论很简单，主要是观察结果，线性平滑基本就介绍这些，下篇介绍非线性的。
