【数字图像处理】3.1:二值图像-形态学处理 数学形态学

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Abstract: 数字图像处理：第9天
Keywords: 形态学

本文最初发表于csdn，于2018年2月17日迁移至此

形态学

数学形态学（Mathematical morphology）是一门建立在格论和拓扑学基础之上的图像分析学科，是数学形态学图像处理的基本理论。其基本的运算包括：二值腐蚀和膨胀 (形态学)、二值开闭运算、骨架抽取、极限腐蚀、击中击不中变换、形态学梯度、Top-hat变换、颗粒分析、流域变换、灰值腐蚀和膨胀、灰值开闭运算、灰值形态学梯度等。

由于二值图像为离散的点集，所以我们将二维离散点定义为栅格，坐标定义为光栅坐标，光栅间的距离为采样间隔。

形态学目的

  • 图像预处理（去噪声，简化形状）
  • 增强物体结构（抽取骨骼，细化，粗化，凸包，物体标记）
  • 从背景中分隔物体
  • 物体量化描述（面积，周长，投影，Euler-Poincare特征）

定义

形态学变换（Morphological transformation） $\Psi$ ，由图像和另一个小点集B之间的关系定义，小点集B称为结构元素（structuring element），其中B中含有一个局部原点的定义，对与一种形态学变换，结构元素B起着决定性左右，B的内容主要包括，一些点的坐标，和局部原点坐标o。

将形态学变换 $\Psi(X)$ 作用于图像X就是用结构元素B系统地扫描整幅图像。当B处于X的某一位置时，B的局部原点 o 为X当前像素，其计算结果保存到输出图像中。
对偶性(duality)：
对于形态学变换 $\Psi(X)$ 存在 $\Psi*X$ 满足：

$$
\Psi(X)={\Psi*(X^c)}^c
$$

c为补集操作
平移(translation)：点集X关于h的评议定义为：
$$
Xh={p属于二维空间点集 ，p=x+h，x属于X}
$$

步骤

  1. 几何变换
    映射 $\Psi$ 称为几何变换，集合变换是从 $Z \times Z\dots\times Z$ (n个)到 $Z \times Z\dots\times Z$ (n个)的映射，即变换前是二值图像，变换后仍是二值图像，$\Psi(X)$ 可以使物体边界或者其他被滤出的颗粒。

  2. 真实测量
    测度u，将集合从从 $Z \times Z\dots\times Z$ (n个)维映射到 $\Re$ (实数)，得到的是一个数值，如体积，重量，表面积。

量化原则（Serra，1982）

  1. 与平移相容
  2. 与尺度缩放相容
  3. 局部知识
  4. 上部半连通
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